Властивість (ВУС1) очевидно, властивість (ВУС2) є наслідок

(112) і рівності В(х, У\ П vi] = У(х, У{){] У (х, У2), а властивість

-(1ГС4) випливає з (У4) і (Ш). Залишаємося установити (11СЗ);

/для цього досить показати, що для будь-якого з& — <е'(У)^З

покриття $ = <е'(\(/), де № е °И задовольняє включенню

4И7(=1/, сильно зоряно уписано в «5$. Розглянемо елемент

У(х,\У) покриття Я и таку крапку в^.Х, що В(х, Ц7)П

П У (у, II7) =/= 0. З останньої нерівності одержуємо \х — !/|<

<З 2И7, так що для будь-якого м^У(у,\У) маємо |а' — 2|<31У7з;

1з=4Гс:1/, тобто геВ(х,У). Отже, 51 (У (х, Г), .$) з:

\сгВ(х, V) е з&, відкіля видно, що 35 сильно зоряно впи-

«а.але в.5$.

Рівномірний простір — це пари (Х,°И), що складає з деякої безлічі X і рівномірності °11 на ньому. Вага рівномірного простору (Х,°і) визначається як вага рівномірності °11.

Кожна рівномірність °)А на безлічі X породжує недо-
торую топологію Про на X; виходить, кожне рівномірне простран-
ство (X, си) визначає топологічний простір (Х,<У).
Точніше, має місце ство. Для будь-якої крапки ,м е 5 існує таке V е °і, що В(х, У)аА; візьмемо \У е °И, що задовольняє умові 2И7сг1Л З (3) випливає, що для кожного в^У(х, У?) маємо В (у, IV) зі сг У (х, V) з: А; отже, У(х,№)з:У, відкіля видно, що В — відкриту безліч. *

8.1.3. Наслідок. Якщо топологія простору X індукована рівномірністю °11, то для кожної крапки х е X і кожного V е °И безліч 1п1 В (х, V) — околиця крапки х.

Доказ. Тому що В(х, У)з:У(х, V), крапка х належить внутрішності кулі В(х, V). I

,8.1.4. Наслідок. Якщо топологія простору X індукована ,
рівномірністю °И, то для кожного х е X і кожного А с. X
маємо '

х е Л тоді і тільки тоді, коли А П В (х, V) =/= 0

для кожного V е (і. І

8.1.5. Наслідок. Якщо топологія простору X індукована
рівномірністю °11, то для кожного А с: X і кожного V е °і
маємо _ *

6(Л)<31/, як тільки 8(А)<У.

Доказ. Відповідно до останнього наслідку, для будь-яких х, в е А існують такі х/, у'ел, що х'^У(х,У) і у' е= У (у, V). Тому \х — у\ < V + V + V = ЗУ. I

Помітимо, що, як випливає з приведених вище наслідків, простір X з топологією, індукованою рівномірністю °і на безлічі X, є регулярний простір (порівн. з наслідком-8:1.13). Справді, у силу теореми $.1.1, X є /^-простір. Тому для будь-якої крапки х е X і будь-якого замкнутої безлічі Рс^Х, такого, що хф.Р, околиця ШВ(х, Щ крапки х, де № <=°11 задовольняє умові 6№ з: V з деяким V<=°11, таким, що Г(]У(х, У)= 0, має властивість ШЪ(х, У) П Р = 0.

8Й16*. Приклад. Для будь-якої безлічі X сімейство °М = ®х є рівномірність на X; вона називається дискретною рівномірністю на X, а простір (X, °И) називається дискретним, рівномірним простором. Одноелементне сімейство 55 = = {Д} є база для °М, так що оу(^)= 1. Тому що В(х, А) = = {х}, те всяке покриття безлічі X рівномірно відносно <і. Ясно, що кожна підмножина А с: X відкрито щодо топології, індукованої <і, тобто дискретна рівномірність породжує дискретну топологію. I

Цей приклад показує, що вага топологічного простору (X, (У), де топологія Про індукована рівномірністю % цможет виявитися більше ваги^ <і. З іншого боку, легко перевірити, що характер (X, (У) не більше ваги °И.

8.1.7. Приклад. Нехай X — довільна безліч; для кожної кінцевої послідовності х\, ..., х& елементів безлічі X покладемо по визначенню ,,

' * *

У(х„ хг, .... Хъ) = ХХХ\(]{((ХХ{х1})(]({х{}ХХ)]\Ь}.

1 = 1

Безлічі В(х.\, х2, ..., х&) є оточеннями діагоналі.1
Розглянемо сімейство °Ис13)ц, що складається з всіх оточень
діагоналі, що містять безліч У(х\, х2, ..., х&). Се-*
мейство °і, складено тими елементами 2)х, що підлоги-'
чаются з ^Х^ видаленням деякої безлічі, покрывае-
мого кінцевим об'єднанням безлічей (XX {*})1).({*} Х^)
Ми покажемо, що °ДО, — рівномірність на X. . '"';'

Той факт, що °М задовольняє умовам (Ш) і (Ц2), сле-
дує з визначення. Легко перевірити, що <2У(х\, х2, , ,.,**) =
= У(х\, х2, ..., хь), тому умова (Ш) також виконана.-
Нарешті, умова (1)4) виконано тому, що! (х,у)^У(Х),
коли х ф у. ' . .* * - .-.: * : [;^

Тому що В(х, У(х))= {х}, рівномірність °і индуцирует дИс- :
кретную топологію на X. Якщо безліч X нескінченно, то
°і, ф 3)х, тому, відповідно до приклада 8Т1.6, різні равномер-
ности можуть индуцировать ту саму топологію. Легко про-
вірити, що якщо \Х\ ^5 ДО0> те так(<?/) = \Х\. I .. ! : . ::ч-

8.1»8. Приклад. Нехай / = [0,1] —