§
Нз". ~'шщ^яг^%^^&^&^Яа&>А^м^&^^»^^^^\. об л о г и я кожний
речовинно повного простору X породжується деякою
повною рівномірністю на X. Можна показати ^ш«.эвдачу~
1Ня*1*3-|п)), що якщо топологія простору X породжується не-
якій повною рівномірністю і кардинал \Х\ невимірний,
то X — речовинне повний простір. Можна також док-
зать що клас топологічних про-
странств, топологія яких породжується повної равномер-
ностью, збігається з класом замкнутих підпросторів произ-
ведень метризуемых просторів. Помітимо, що з останнього
твердження випливає, що топологія будь-якого метризуемого про-
странства породжується деякою повною рівномірністю. Ока-
зывается, усі_ паракомпакты володіють тим же властивістю ^Щ
Я&ЗОЁг&ЗЯ&З^ЦЬ) ЖЯ|1^). Отже, кожен паракомпакт
(і, зокрема, кожне метризуемое простір) неизмери-
мий потужності є речовинно повним 4врв**=у*Наа-чей** *
'*
ЯШйт Теорема. Якщо (X, (Ы) — рівномірний простір і (}',Т) — повний рівномірний простір, то кожне рівномірно безупинне відображення /: (А, сиА)^-(У, Т), де Усюди щільна підмножина в X щодо топології, индицированной рівномірністю °И, продовжується до рівномірно безупинного відображення Р: (Х,°И)-^(У,У).
Доказ. Для кожного х е X сімейство
{1(У(х,і)[\А)}ц^си центровано і містить довільно ма-
лые безлічі. Отже,. у силу повноти простору
.(У, Т), формула / * . .
(2) :'. \
визначає відображення Х-+-У. Легко бачити, що для кожного \ а' е А ми маємо Р(х) = /(а').
Ми покажемо, що відображення Р рівномірне безупинно. '* Для будь-якого IV <=Т виберемо таке В^Т, що 61/з: IV, і таке*
.- -.:- И^°И, відкрите в топології, індукованою рівномірністю
°И на XXX, що для будь-яких а, а'(=А якщо а — а/\<2і, те
|/(а) —,/(а')|< I7- ^я лю-
, бого АГ з= X ' " ^^^«^
= (3) б(/(Ж7ТТ))<31/, коли 8(М)<2і. .
Розглянемо тепер таку пару крапок х, у^Х, що \х— у\<.
<.' Ц, і покладемо В\ ~ У (х, 1/) і В2 ~ У (у, II). Перетинання*
У] [}У2 непорожньо і відкрито в X, отже, існує крапка
а<=А^У^У2. Тоді /(а)е 1(У1 П Л)П№'П^) і, згідно
. (3), б(/(51ПЛ)і/(Ь'2ЛЛ))<6У. Тому, у силу (2), И*)-—
/1(^)|<61/з= Г. §
Н*е*ед»«ьгшщ§:щ._айёв^м^ш^*пекло«5ф§^-'Д-ает
Наслідок, ^сли (Х,аИ) і (У,Т) — повні рівномірні простори, те кожен рівномірний ізоморфізм (А,ША) на (У,Ув),.де А и В — усюди щільні підмножини X і В соот- '**
ветственно, продовжується до рівномірного ізоморфізму (X, (Ы)
на (У,Т). П. :
4&Ц@11&?Теорема. Для кожного рівномірного простору (X, °И)
існує рівно одне (з точністю до рівномірного изомор-
физма) повний рівномірний простір (X, °И), таке, що
для деякої щільної підмножини А -з: X простір
(Х,°И) рівномірно ізоморфно простору (Л,(%). Більш
того, має місце рівність так (<%)— ю (°і), і якщо (Х,Ш)
цілком обмежене, те (Х,°И) також цілком обмежено.
Доказ. С|^дё?тйрваи{|е ^/гростр^нс^вй |Ж,<ет)л'вы-
теш;ёгл4№ * в.2Д ^ЖР^ё.^9 1^-Д^З' З егс^ еш44ет*^н^)з^Д/1^
,федсЖй-8.1Ш - л-*- v -
Рййёйетво на ((й) = 1Ю (°11} ^ш^1а«ф»«3'гз«1йеааш1^_8А4--»-еле-
чй^^щёг^ефайа^::-» якщо ш (<?/)<: До, те ^ — дискретна дорівнює-
мірність. Нарешті, т^шу-^^^^^&^^^^-^&у^^а^^^:, якщо
(X, СИ) цілком обмежене, те (X, Щ) також цілком ограни-
чено. I
Простір (%,<і), ^^*я*^й$ешюи*ве!^1вввв*я**^М1вр«^ |*
&*&&} називається поповненням рівномірного простору
(Х,<і). *****/ '
Ми^а1<ончим цей п^)з^^|$[/1:^^ .
наи<иМца-1(тх 4дешК Теорема. Для кожного компакта X існує точно одна рівномірність °Ц, на безлічі X, индуцирующая вихідну топологію простору X. Всі оточення діагоналі А с: сиХу^Х, відкриті в добутку Ху^Х, утворять базу рівномірності <і.
Доказ. «бзацееяЕеааанюг ^^1Шинря№гаМй^»а'----про->'
<й4зд-»ст^:^^'ж'^^'?~1^^ покажемо, що всі
оточення діагоналі Лсг^Х^, відкриті ъ XXX, утворять
базу <і. Очевидно, що з цього факту випливає єдиний-
ность °і.
Кожне V <= <і містить некото- *
рої оточення діагоналі, відкрите в Х'ХХ. Розглянемо яке-небудь відкрите оточення _й/ діагоналі А сг X X X. У силу (Ш) ^!Ще%^ШЩ А = {]{У: V^(і}у/. Користаючись компактністю простору X X X тЗ№ЁШЛ^ёАА^,^М^ ми укладаємо, що існує кінцеве сімейство {V], ДО2, ..., Уь} з^Ы, для якого А с: 1/1 П ДО2 Л * * * П ^ <=* vi П У2 П... [\?ь <=.№... Отже, у силу (Ш) і (П2), 1^е^. I .
Дбка^ательст;у^ &лешйю|цйи /тао^емьу аналогавдчой' ^про^эа-
^Ш№' Теорема. Кожна рівномірність на компакте цілком обмежена. I
,., Ш ,'9ЦредеМе1}^]4^^Ьи ^не^Лд^^^о);4еЩф^'^,з]/з'а-
^ШЦЙ.Щ)1 * »/і
- ^Щ§1 Теорема. Кожна рівномірність на .компакте повна. I Рівномірний простір (X ^) називається компактом, якщо безліч А' з топологією, індукованою рівномірністю Ш, є компакт.
ЩЦЦ^ Теорема. Рівномірний простір (X, Ш) є компакт у тім і тільки тім випадку, коли воно одночасно цілком обмежене і повне.
Доказ. ^Ш^^^^щрШ^^ё^-ЛГ 'вШ|5^ Досить довести, що кожен рівномірний простір, що одночасно цілком обмежений і повне, є компакт. !Ш^^ё&»-р**так-«85у^^^|д^РгзчЕЮ. (X, °И) рівномірно ізоморфно замкнутому .підпростору добутку ( П Х5, Ц ШЛ, де
Ч5ЇЇ 5 5е 5 /
простору (Х3, си5) повні і метризуемы. Без обмеження спільності можна вважати, що X = X <^* П ^> % ~ ( ~П. ^'Л
____ хе5 \5<25 ;х
і рз(Х] = Х5 для кожного 5^5. Тому що цілком обмеженість зберігається при рівномірно безупинних відображеннях, простору (р5(Х), (аИз}р!.(Х)) цілком обмежені, >м*ш^^вк>р-і«*
^^айяввв^емы^вввй^вйн^йвет^ввэ простору (Х3, °З) також
