= «о. * ' *'.''' .' :: :.

Нехай °11 — рівномірність на-безлічі X; тихоновская те- ' пология на добутку ^Х^, де X узято з топологією, інду- *]* цированной рівномірністю Ш, називається топологією, індукованою рівномірністю °И на безлічі XX %* Простір А'Х^ з цією топологією відіграє важливу роль у теорій рав- ,

^щмерных просторів. -'; *; ;:/;

[ Розглянемо рівномірний простір (Х,аИ) і деяку псевдометрику р на безлічі X; будемо говорити, що -псевдо- * метрика р рівномірна відносно Ш, якщо для кожного е >* 0 -; знайдеться таке V'е^, що р(х, у) < е, як тільки |ж,—=* у\ <ОУ.

^ШМ. Пропозиція. Якщо псевдометрика р на безлічі X рівномірна щодо рівномірності °1А на X, то р — непрерыв~ ;

новий відображення безлічі X X X з топологією, індукованою рівномірністю °И, у речовинну пряму.

Доказ. Нехай (хо, г/о)— крапка XXX; виберемо е >* О и V е <і так, що

р(л-, г/)< е/2, коли \х — у\<У.

безліч 1п1В(хо, У)Х 1п1В(у0, V) є околиця крапки (х0,у0), тому досить показати, що | р (х0, г/о) — р (х, у] \ < е при усіх (х, у)^У (х0, V) X У (у0, V). Якщо (х,у)е=У(х0,У)ХВ(Уо,У),те \х0 — х\<Ун \у0-у\<У, і, відповідно до нерівності трикутника, одержуємо

| р (ж0, г/0) — р (х, г/) |< р (х0, х) + Р (г/о. у) < у 8 + ^ е ^ е' Я

наступна теорема являє собою один з найбільш важливих результатів теорії рівномірних просторів; вона затверджує, грубо говорячи, що для всякої рівномірності °М, існує багато псевдометрик, рівномірних відносно Ш. Теорема. Для кожної послідовності Уо, vi, ... елементів рівномірності °і на безлічі X, де

(4) У0 = ХХХ і 3!/,-+, з: У{ при м = 1, 2, ...,

існує така псевдометрика р на безлічі X, що при всякому м ^ 1

]/,з {(х,у): р(х,у)^1/У}<-У^.*

Доказ. Визначимо відображення I з X X X у /?, поклавши

оо

( 0, якщо (*, г/)е П ^м>
I м=про

Пх, У) = <

(^ 1/2', де (х, у)е=У1\Уц.1, якщо (х, у) ф Л ^.

З визначення / випливає, що для будь-яких х, у <= X маємо

(5) Дд;,х) = 0 і 1(х,у)=1(у,х).

Далі, для будь-якої пари х, у крапок X визначимо р(х, у) як

^

найбільшу нижню грань усіх чисел X I (х1-1> х*)' де х°'

!==!

XI, ..., Хь — послідовність крапок X, така, що Хо = х і хь~у. З (5) випливає що р(х, х)— 0 і р(х,у) = р(у,х) для ,

усіх х, в е X; тому що, по визначенню, р задовольняє нера--венству трикутника, р є псевдометрика на X.

Для доказу (6) досить показати, Що при будь-яких х, у<=Х и кожної послідовності х0, х\, ..., 'хь, такий, что-х0=х і Ж|г=г/, має місце нерівність

Доказ іншої частини теореми буде виведено з;
подвійної нерівності ,

Ми доведемо (7) індукцією по Н. При /м = 1 нерівність (7)! очевидно. Припустимо, що /п>1 і що (7) вірно для всіх & < т. Розглянемо послідовність Хо, х\, .-.., хт, таку,.

т. *

що х0 = х і хт = у, і нехай а = ^ /(*м__1> х^. Якщо а ^ 1/2,,

( = 1 . '

те (7) справедливо для і = /п, тому що /(х, у) ^ 1; тому ми. можемо вважати, що а < 1/2.

Розглянемо спочатку випадок, коли а > 0. Очевидно, що виконано одне з нерівностей /(лг0, л:\) ^ а/2 ил'и Дл:т_1, л;«) ^: *^ а/2. У силу симетрії наших припущень, можна вважати, що 1(х0, х\) ^а/2. Нехай / — найбільший індекс, такий,,

чтп .

По індуктивному припущенню, /(хо, х/)^ а і /ЧЛ'/+ь %т) ^ й-Из визначення а випливає, що і {(х/, х1+\) ^ а. Позначимо че1-рез / найменше ціле число, що задовольняє нерівності 1/2' 5^ а; тому що а < 1/2, те / ^ 2. Очевидно, що (^про, */)е vi,, (я/, дся-1)е vi і (*ж,л:т)<= У/; з , (4) випливає, що (х0, хт) =

= (^^)е^_,. Отже, /(х,у)^1/2Н^2а, тобто ^[(х,у)^а'

і (7) виконане для /м = т, якщо а > 0.

Далі, у випадку, коли а = 0, для I = 1, 2, ..., т ми маємо /(х,-_1, я,-) —0 і, по визначенню /, (а-,-, л:<_1) е V/ при / = 0^ 1, .... Звідси видно, що (х,у)^ту/ при / = ПРО, 1, ...; по-

схэ

цьому, згідно (4), (х, у) е (~) У{, тобто Цх, г/)=0. Отже, (7>

1=0 ' - :

виконано для /м = т у випадку а — 0. Тому (7) має місце для усіх /м і (6) доведено. З (6) і визначення / випливає,, що

У1а{(х,у): р(х,0Х 1/2'}з:ДО,_1 при 1 = 1, 2, ...; тим самим доказ закінчений. I

Наслідок. Для кожної рівномірності °И на безлічі X і будь-якого V е Щ існує псевдометрика р на безлічі X, .яка рівномірна відносно °11 і задовольняє умові

{(х,У): р (ж, </)<!} з V. .

Доказ. З (УЗ) випливає, що