8.1.12. Наслідок. Для кожної рівномірності °И на безлічі
X сімейство всіх елементів °И, відкритих відносно тополо-
гии, індукованої °И на Ху^Х, а також сімейство всіх елі-
.ментов °11, замкнутих щодо цієї топології, є
базами для °И. *

Доказ. Нехай V — елемент'?/ і р — псевдометрика, визначена в доказі наслідку .8.1.1-1; Згідно (III), безлічі

№ = Ьх,у):р(х,у)<1}су і V = {(х, у): р(х, у) < 1/2} з: V

є елементами °И. випливає, що .перша безліч відкрита, а друге замкнуто. I

8.1.13. Наслідок. Для кожної рівномірності °і на безлічі X безліч X з топологією, індукованої °і, є тихоновское простір.

Доказ. Для будь-якої крапки х е X і замкнутої безлічі Рс^Х, таких, що х.фР, існує V ^.Ш, що задовольняє умові Р^]У(х, V) == 0. Функція [: Х->-/, визначена рівністю I(у) = гшп(1, р(х, у)), де р — псевдометрика лз наслідку 8.1.11, безупинна, дорівнює 0 в х и дорівнює 1 на Р. **

Нехай (Х,^) — рівномірний простір; ми покажемо, що сімейство Р усіх псевдометрик на безлічі X, равномерных.відносно °И, має наступні властивості: (УР1) Якщо рь р2 е Р, те тах(р,, р2) е Р.

(13Р2) Для кожної пари х, у різних крапок X існує така р е Р, що р (х, у) > 0.

Для перевірки властивості (УР1) розглянемо р1, р2 е Р, р = = гпах(рь Ра), і довільне е > 0. По визначенню псевдометрики, рівномірної відносно °і, знайдуться такі vi, У%^.

е<2/, що р1(л',г/)<е, як трлько \х — у\<У1, і р2 (х, </)< е,. як тільки | .v — у \ <; 1/2- Тому що V — vi П vi ^ <?/ і р (х, у) <Се,.. коли |х — у | < У, ми имеем-р е Р.

Властивість (11Р2) випливає з (114)

При визначенні рівномірності на безлічі часто більш зручно не описувати безпосереднє сімейство °11 оточень діагоналі. Ми приведемо три способи завдання равномерностей: визначення бази, сімейства рівномірних чи покрить сімейства рівномірних псевдометрик.

Пропозиція. Нехай дані безліч X і сімейство
$аз)х оточень діагоналі, що володіє властивостями (ВШ)—-
(ВШ). Сімейство СЫ, що складається з всіх елементів @)х, содер-
жащих деякий елемент, сімейства $, є рівномірність на
безлічі X і $ — її база. *'.;*

Якщо при цьому X — топологічний простір і сімейство
$ складається з відкритих підмножин добутку XXX і якщо'
для кожної крапки хе X і будь-якої її околиці Про існує
таке В^$, що В(х,У)з:0, то °И— рівномірність на про->
странстве X. * . *..

Така рівномірність °И називається рівномірністю, порож-
денной базою <8. ШПредложение. Нехай задані безліч X і сукупність-
З його покрить, що володіє властивостями (ВУС1) — (11С4). Се-
мейство $з:Я)х всіх оточень діагоналі виду \]{НУ^Н:}
Яел^}, де ^-^ас, є база рівномірності °И на безлічі-
X. При цьому З є сукупність усіх покрить X, рівномірних'
відносно °И. '"" -. , . - . . : '*>* :...1

Якщо до того ж X — топологічний простір і З з-*; коштує з відкритих покрить X і якщо для кожної точки'х^Х]^ і кожної її околиці Про знайдеться таке з&^Із що 51(д:; ,5$)с±Л з; З, то °И — рівномірність на просторі X.

Така рівномірність °И називається рівномірністю, По--]
породженою сукупністю З рівномірних покрить. ;'.''''* {

Доказ. Для кожного покриття з& безлічі X'по-!
лежимо '"';'.
У(&) = \]{НХН:-Н*=з*}. ;^ '3

Тому що В(з&)^3)х, досить перевірити, що сімейство',$ *Уи| = {У(&): 3&<=З} має властивості (ВУ1) —(У113). Але э;т,1Ш властивості випливають безпосередньо з властивостей (ПС2) — (^З4)||И якщо помітити, що В(^)з= У($) для покриття ^, вписанно^щИ

у покриття 33, і що 21/(,5$)з: У($), якщо ^ сильно зоряно
уписано в $. Той факт, що З — сукупність усіх покрить X,
рівномірних відносно °11, випливає з (ОС1) і легко вуста- '';
навливаемого рівності В(х, У(з&)) = 51(д;, з&). '

З останньої рівності ми одержуємо також другу частину
теореми. I .-;*

Ш?1:7. Приклад. Група — це така безліч ПРО, що для лю-
бій пари х, у його елементів визначений елемент ху е ПРО — про- <\
винищення х и у і виконані наступні т,ри умови: .;|
(ПРО1) (ху)м = х(уг) для всіх х, у, ге О. ;:
(З2) Існує такий елемент е^ПРО, що хе — ех = х для |
кожного х е С. : 1:*

(03) Для кожного х^Про існує такий елемент хг1 е ПРО, ,-*:|

що хх~] — е. : * ч!й

Елемент е називається одиницею в ПРО, а ,дН називається обрат"-':||Т-

.ніш елементом для х. Легко перевірити, що існує тільки Зз*

одна одиниця в С и що для кожного ж е Про існує рівно -':;}*

один зворотний елемент. Якщо в групі Про крім умов (01)-- !

(03) виконана умова ?

(04) ху — ух для всіх х, в е 07

те Про називається абслевой чи комутативною групою.

Топологічна група — це група З, що одновре- *''-.,