Л"1 ={х~1: а-сі А} і ЛВ=={л:г/: х <= А и г/е в}. ' ;|

Для підмножини Л с: О и елемента х е Про замість {х}А и |й Л{л-} ми пишемо просто хЛ і Ах. Легко перевірити, що якщо А відкрита підмножина топологічної групи ПРО, та безліч.» Л-1 також відкрито. Аналогічна безліч ЛВ відкрита, еЧ!||Я| хоча б одне з безлічей Л и В відкрито. Зокрема, ДЛ'аД кожного відкритої безлічі Я сг Об безлічі хН і Їх 9.ДИ

Нехай З — топологічна група і ,(% = &(е} — її база ..вН
крапці е. Кожен елемент Я сімейства <% визначає три. П|1В
крытия З: ,Я1
(&1(Щ = {ХЩ^0, <<?г(П) = {Нх}х^0 і ^(Н) = {хну}х<ует

Позначимо через З/, Сг і З відповідно сукупності ВСС-Д| локрытий ПРО, у який уписані покриття виду ^/(Я), ^("ЯЯ

чи 'З'(Я), де Н<^&. Кожна із сукупностей З/, Сг і З"
має властивості (ОС!) — (11С4) і тому породжує рав-
номерность на безлічі О. Більш того, топологія, индуциро1
ванна кожної з цих равномерностей, збігається з вихідною
топологією О. В усіх трьох випадках доказу однакові,.
тому ми обговоримо тільки! випадок З/. Відзначимо^ що якщо ПРО —
абелева група, то З;, Сг і Зі збігаються і тому породжують
ту саму рівномірність на безлічі О. н1

Розглянемо топологічну групу О и визначену вище сукупність Сг її покрить. З визначення З/.негайно випливає, що З; має властивість (11С1). Тому що для будь-яких И\, Я2е^ існує таке Яе^, що ЯсгЯ1ПЯ2) те З/має властивість (ОС2).

Для доказу того, що З; має властивість (СШ),. досить показати, що

(8) Для кожного Н ^ <% існує таке Н\<^.$\ . '""'
що 5м(хН{, (е'1 (Я,)) з: хН при всіх х^О.

Тому що формула /(*,, х2, х3) = х1х~*х3 визначає непрерыв-'
ное відображення /: СХ^Хс-кс і [(е,е,е)=е, для кожного'
Я б ^знайдеться таке #1 її $, що /(Я, X Я, X Я,) = НуН\1Н^
сг Я; ми покажемо,'що Н\ задовольняє (8). Ясно, що якщо
хН\[\х\Н{^=0 при деякому фіксованому х^ ПРО, те хЬо =—
= ^1/1],тобто х\ = хН01м^{ для деяких /м0, 1м\е.Н\; тому для.:
кожного елемента л'1/м з Л"1Я1 имеем '; . , ";]

Х{/м = Х/м0!г^/1<=хН1НГ1Н1С1хН, * * ''"

що доводить твердження (8). г

Для кожної пари л:, (/^різних крапок З? маємо хг^уфі:

Тому що Про є Ггпространство, існує таке Яе^, що1

х~1уфН. Ми покажемо, що жоден елемент покриття ^/(ЯО;

; де Н\ е^ задовольняє включенню ЯГ'Я! сг Я, не містить

^одночасно л; і «/. Справді, з рівностей х — х$Н\ і в ^

^.= Х01м2, де /гь /м2еЯ,, випливає, що х~{у = Ь^11м2^ ЯГ'Я] сг Я»:

;що суперечить вибору околиці Яь Тому З/ володіє-

;И властивістю (СШ). . М

^.' Перевіримо, що топологія, індукована рівномірністю,

;,псрожденной З/, збігається з вихідною топологією О. Тому що

!; З1 складається з відкритих покрить ПРО, досить помітити, що

Цут'каждой крапки х<=0 і будь-якої її околиці {/знайдеться

зетакое Яе^, що хНс^И, і застосувати (8). Зокрема, ми:

Шблучим важливий наслідок про те, що кожна топологічна

Цг^уппа є тихоновское простір. Пропозиція. Нехай дана безліч X і сімейство Р псевдометрик на ньому, що володіє властивостями (1)Р1) — (13Р2). Сімейство ,^<=.Фх веек оточень діагоналі виду {(х,у): р(а-,</)< 1/2'}, де реР і 1=1, 2, ..., утворить базу рівномірності Ш на безлічі X, Кожна псевдометрика р е Р рівномірна відносно °11.

Якщо до того ж X — топологічний простір і всі псевдометрики сімейства Р — безупинні функції з XXX у речовинну пряму і якщо для кожного х е X і кожного непорожнього замкнутої безлічі АаХ, такого, що хфА, знайдеться таке реР, що ш!р(л:, а) > 0, те <і — рівномірність

а <= Л

на просторі X.

Рівномірність °п називається рівномірністю, породженої сімейством Р рівномірних псевдометрик. I

'8.1,19. Приклад. Нехай X — тихоновское простір; позначимо через З(Х) сімейство всіх безупинних речовинних функцій, визначених на X, і через З* (X)-— підродина в З(Х), що складається з всіх обмежених функцій. Для кожної кінцевої послідовності 4ь Ь. ***> 1ь елементів З(Х) формула

О) РР,, Г2,..., !ь(х, 0) = тах{|М*)-М</)1.1Ш-Ы//)1. ***

.... 1М*)-Ш1М

визначає псевдометрику на безлічі, X. Нехай Р — родин- ; ство всіх псевдометрик, Рг,, м2,..., м^. де ?ь Ь« ***> ^е ^'^'V.»-! і нехай Р* — підродина в Р, що складається з усіх псевдометрим

р?,Л2, -..Г*. де ?ь ^2' * .-,' Г^енс'и)- , т,Напуваючи
Обоє сімейства Р и Р* мають властивості (11Р1) — (^Р2АШ
так що вони дорождают рівномірності "ё7 і ^* на. безлічі АШ
Ми покаже!, що топології, індуковані ^ і <&*, срвй.^И
дають з вихідною топологією X. н ТИ
З (9) (^ледует, що всі псевдометрики в сімействі Р- **
переривані функції з XXX у речовинну