У нас: 141825 рефератів
Щойно додані Реферати
Тор 100
|
|
:менно є ^-простором, причому виконані випливаю-
щие дві умови: . * .; (Т01) Формула 1(х,у) — ху визначає безупинне отобра- | женивши \: О X О ->- С. % (ТС2) Формула {(х) = х~[ визначає безупинне отображе- N ние /: 0->- С. | Нехай ПРО — група й А, У — її підмножини; покладемо і Л"1 ={х~1: а-сі А} і ЛВ=={л:г/: х <= А и г/е в}. ' ;| Для підмножини Л с: О и елемента х е Про замість {х}А и |й Л{л-} ми пишемо просто хЛ і Ах. Легко перевірити, що якщо А відкрита підмножина топологічної групи ПРО, та безліч.» Л-1 також відкрито. Аналогічна безліч ЛВ відкрита, еЧ!||Я| хоча б одне з безлічей Л и В відкрито. Зокрема, ДЛ'аД кожного відкритої безлічі Я сг Об безлічі хН і Їх 9.ДИ Нехай З — топологічна група і ,(% = &(е} — її база ..вН Позначимо через З/, Сг і З відповідно сукупності ВСС-Д| локрытий ПРО, у який уписані покриття виду ^/(Я), ^("ЯЯ чи 'З'(Я), де Н<^&. Кожна із сукупностей З/, Сг і З" Розглянемо топологічну групу О и визначену вище сукупність Сг її покрить. З визначення З/.негайно випливає, що З; має властивість (11С1). Тому що для будь-яких И\, Я2е^ існує таке Яе^, що ЯсгЯ1ПЯ2) те З/має властивість (ОС2). Для доказу того, що З; має властивість (СШ),. досить показати, що (8) Для кожного Н ^ <% існує таке Н\<^.$\ . '""' Тому що формула /(*,, х2, х3) = х1х~*х3 визначає непрерыв-' Х{/м = Х/м0!г^/1<=хН1НГ1Н1С1хН, * * ''" що доводить твердження (8). г Для кожної пари л:, (/^різних крапок З? маємо хг^уфі: Тому що Про є Ггпространство, існує таке Яе^, що1 х~1уфН. Ми покажемо, що жоден елемент покриття ^/(ЯО; ; де Н\ е^ задовольняє включенню ЯГ'Я! сг Я, не містить ^одночасно л; і «/. Справді, з рівностей х — х$Н\ і в ^ ^.= Х01м2, де /гь /м2еЯ,, випливає, що х~{у = Ь^11м2^ ЯГ'Я] сг Я»: ;що суперечить вибору околиці Яь Тому З/ володіє- ;И властивістю (СШ). . М ^.' Перевіримо, що топологія, індукована рівномірністю, ;,псрожденной З/, збігається з вихідною топологією О. Тому що !; З1 складається з відкритих покрить ПРО, досить помітити, що Цут'каждой крапки х<=0 і будь-якої її околиці {/знайдеться зетакое Яе^, що хНс^И, і застосувати (8). Зокрема, ми: Шблучим важливий наслідок про те, що кожна топологічна Цг^уппа є тихоновское простір. Пропозиція. Нехай дана безліч X і сімейство Р псевдометрик на ньому, що володіє властивостями (1)Р1) — (13Р2). Сімейство ,^<=.Фх веек оточень діагоналі виду {(х,у): р(а-,</)< 1/2'}, де реР і 1=1, 2, ..., утворить базу рівномірності Ш на безлічі X, Кожна псевдометрика р е Р рівномірна відносно °11. Якщо до того ж X — топологічний простір і всі псевдометрики сімейства Р — безупинні функції з XXX у речовинну пряму і якщо для кожного х е X і кожного непорожнього замкнутої безлічі АаХ, такого, що хфА, знайдеться таке реР, що ш!р(л:, а) > 0, те <і — рівномірність а <= Л на просторі X. Рівномірність °п називається рівномірністю, породженої сімейством Р рівномірних псевдометрик. I '8.1,19. Приклад. Нехай X — тихоновское простір; позначимо через З(Х) сімейство всіх безупинних речовинних функцій, визначених на X, і через З* (X)-— підродина в З(Х), що складається з всіх обмежених функцій. Для кожної кінцевої послідовності 4ь Ь. ***> 1ь елементів З(Х) формула О) РР,, Г2,..., !ь(х, 0) = тах{|М*)-М</)1.1Ш-Ы//)1. *** .... 1М*)-Ш1М визначає псевдометрику на безлічі, X. Нехай Р — родин- ; ство всіх псевдометрик, Рг,, м2,..., м^. де ?ь Ь« ***> ^е ^'^'V.»-! і нехай Р* — підродина в Р, що складається з усіх псевдометрим р?,Л2, -..Г*. де ?ь ^2' * .-,' Г^енс'и)- , т,Напуваючи |