частини пропозиції 8:1.16, ^ і ^ — рівномірності на ПР°9ТРЗ^Я

стве X. I ,,0^Я

У зв'язку з описаними вище способами завдання равномер^і

ностей ми звертаємо увагу читача па наступний простоШИ

факт: якщо °Иъ — рівномірність на безлічі X, те для бази ЯМ

рівномірності ^0 (сукупності З усіх покрить X, рівномірних відносно ^0; сімейства Р усіх псевдометрик на X, рівномірних відносно <%,) рівномірність °И, породжена на X базою & (сукупністю З, сімейством Р) в~еоответ-ствии з пропозицією 8.1.14 (пропозицією 8.1.16, пропозицією 8.1.18), збігається з вихідною рівномірністю °И^. *

Приклад 8.1.19 і наслідок 8.1.13 приводять ""до наступного-
твердженню: ^*

&.1.20. Теорема. Топологія простору X індукована деякою рівномірністю на безлічі X тоді і тільки тоді,, коли X -— тихоновское простір. Ш

Нехай X — деяка безліч і р — метрика на ньому. Тому що сімейство {р}, що складається з єдиної псевдометрики р,-має властивості (11Р1)— (ОР2), воно породжує рівномірність Ш на безлічі X. Більш того, відповідно до наслідків 4,2.6. і 4.1тИ, топології, індуковані на X метрикою р і рівномірністю *і, збігаються. Рівномірність °И називається рівномірністю, індукованої (чи породженої) метрикою р.. Рівномірний простір (X, °Щ метризуемо, якщо на' безлічі X існує така метрика р, що індукована нею рав-*

номерность збігається з вихідною рівномірністю °И. Виникає природне запитанння: чи існують внутрішні характеристика метризуемых рівномірних просторів. Н*а«а наступна теорема містить таку характеристику.

,8.1.21. Теорема. Рівномірність Ш на безлічі X породжена: ;; 5.деякою метрикою на X тоді і тільки тоді, коли до(4/)=5С ДО0^ Ц; Доказ. Очевидно, що кожна рівномірність, інду-*

ышрованная метрикою, має вага ^ДО0.

Ир;:;Розглянемо рівномірність <Ы на безлічі X, що-
И|меет. рахункову базу {{/м}°°=1. Існує""такаючи послідовник-
И|ость 1/про, vi , ... елементів <і, що ' А
И:ТУ0 = ^Х^, 31/м+1з:У, і V^^^^ для »= 1,'2, ,.,''. А*

р;* - * ***;* ' *.*-* :* : * Д

И| -Останнє включення спричиняє рівність П 1/м==Д^!

; !' <-1.-.'-'

ч^го псевдометрика р т теореми 8.1.10, що відповідає;^ Машею послідовності В0, У\, ... елементів <Ы, є позначок-*

рика. З другого включення в теоремі 8.1.10 негайно підлоги-;*

аем, що р индуцирует вихідну рівномірність ^. I

^до ^Помітимо в зв'язку з останньою теоремою, що, як показує*

приклад 8.1.7, може случитися, що метризуемая топологія на.
До зжестве X индуцируется такою рівномірністю <і на X, кото-
№) л не породжується ніякою метрикою на X. '

Нехай (Х,46) і (У, Т} — два рівномірних простори; відображення / безлічі X у безліч У називається рівномірно безупинним відносно равномерностей 46 и'Т, якщо для кожного V е Т існує таке И <= 41, що при всіх х, х' е X ми маємо \}(х)— }(х') | < V, коли \х -Л''|< і. З цього визначення відразу випливає, що / — безупинне відображення простору X з топологією, індукованої 46, у простір У с топологією, індукованої В3. Той факт, що ] — рівномірно безупинне відображення відносно равномерпостей 46 і Т на X і У відповідно, буде записуватися у виді [: (Х,46)-+-(У,Уа).

Читач може легко перевірити, що якщо /: (X, '°16)~:>-(У, Т) і §: (У, Т)-*-(2,Ж), то§/: (Х,46)-+(2,УГ) тобто, композиція рівномірно безупинних відображень рівномірно безупинна.

Так само як і у випадку топологічних просторів, можна сформулювати ознаки рівномірної безперервності відображення відповідно до різних способів завдання равномерностей.

8.1.22. Пропозиція. Нехай (Х,46) і (У,Т) — рівномірні простори і I — відображення X в У. Наступні умови рівносильні:

([) Відображення / рівномірне безупинно відносно 41 і Т.

(\\) Існують бази ,<% і "& для 46 і Т відповідно, такі, що для кожного V е *2? знайдеться V е .$, що задовольняє умові Ос: (IX 1)-](У).

(і!) Для кожного покриття з$- безлічі В, рівномірного відносно Т, покриття {^(Л): А <== &} безлічі X рівномірно відносно 46.

(iv) Для кожної псевдометрики р на безлічі В, рівномірної відносно Т, псевдометрика а на безлічі X, визначена рівністю а (х, у) = р Ц(х), [ (у)}, рівномірна віднось-;

тельно 41. |1 , >
Взаємно однозначне відображення [ безлічі X па множе-^
ство В є рівномірний ізоморфізм відносно равномер-'м
ностей 46 і Т на безлічах X і У відповідно, якщо I рав'л
номерно безупинно відносно 41, п Т и зворотне отобраЖе-;р
ние [* "' рівномірно безупинно відносно Т и 46. Равномер-|
ный ізоморфізм є гомеоморфізм індукованих топологи-^
ческих просторів. !|
Два рівномірних простори (Х,46) і (У, Т) называются|
рівномірно ізоморфними, якщо існує рівномірний изоч|

морфизм (Х,*і) па (У, Т). Вивчення рівномірних чи властивостей рівномірних інваріантів, тобто інваріантів рівномірних изоморфизмов, і є предмет теорії рівномірних просторів. Очевидно, що кожен топологічний інваріант є равномер-^ ный інваріант. . Нехай дані рівномірний простір (X, °11) і безліч М сг X. Легко бачити, що сімейство Шм ={(М X М)П V: У^ <= <?/}з3)м задовольняє умовам (1Л.) — (Ш),тобто (М, %*)— рівномірний простір. Рівномірний простір (М, °їм) називається підпростором