Для кожного рівномірного простору (Х,°И) і будь-якої безлічі Ма X формула 1м(х) = х визначає рівномірно безупинне відображення гм: (М,<їм)^>-(Х,<і}; відображення г'м

!. називається вкладенням підпростору (М, °їм} у простір*

(х,<і).

Перейдемо до (декартовым) - добутків рівномірних просторів. Нехай {(Х5, ^)}5<=5 — сімейство рівномірних про-..;

странств. Сімейство $ всіх оточень діагоналі Л с: ( Д А'ЛХ

\5^5 /*

ХГПХЛ ВИда

Ч8ЇЇ5 / .

{({*.№»: *ч-уч<УЧ АЛЯ '* =!. 2,..., А},'-

де «1, 52, ..., (5*е5 і V,. <= °И5. при 1 = 1, 2, ..., /е, обла- ., дає властивостями (У1Л)—-(ВШ), так що, «е©ряаоно--нредложе-щц&-&Ы4, сімейство $ породжує рівномірність на безлічі XI Х5; ця рівномірність називається (декартовым] произвсде-

56:5 тт

нием равномерностей {^Л$е=5 і позначається Ц Ф^.Произве-

5 ^ про

дение кінцевого сімейства равномерностей {^м}^ позначається ^[Х%Х *** Х%. Якщо усі рівномірності °і5 рівні один одному, тобто якщо X, = X і Щ5 — °И при всіх 5 е 5, то добуток П (і, позначається також <ит, де т = 15]. Равномер-

хе5

ное простір (П ^5= II ^Л називається (декартовым)

Чя'евЗ 8^5 )

добутком, рівномірних, .просторів {(Х$, ^«)}яе5. Читач може легко перевірити, що топологія, індукована на

П X, рівномірністю Ц ^5» збігається з тихоновской топо-
ле 5 «е5
логией на добутку П Хэ, де Х3 мають топологію, інду-

зг=5

цированную аЫВ-

Якщо для 1—1, 2, ... рівномірність ^; на безлічі Х( індукована метрикою рг на просторі ХГ, обмеженої чис-

00. °°

брухт 1, то рівномірність Д Си1 на безлічі Ц ХГ збігається

I~1 1=1

з рівномірністю, індукованою метрикою р, 0яредеяен«їй фв^шуя«я-^)~~в~§"тог

Легко бачити, що якщо ( XI Х3, Ц ^5^ — добуток

Чаї 5 8е 5 /

рівномірних просторів {(Хг, ^5)}8е5, то Для будь-якого 5^5 проекція р8 добутку XI ^5 на 5-ю вісь Х3, визначена формулою рз({хз}) = хз, рівномірно безупинна відносно

П <верб і ^5-

8 €=5 .> Має- тяе-ето *- -еледугощяй~~-р-а-йнемернъж---а-налег преддаже-

ШШ_&Зт& . '

Пропозиція. Яг/сгб (Х,<і) -рівномірний простір, {(У8, Т3)}5^8 -сімейство рівномірних просторів і / —

відображення безлічі X у добуток Ц 75. Відображення /

5е=5

рівномірно безупинно відносно °й і Д ^5 тоді і тільки

з^8

тоді, коли композиція р5/ рівномірно безупинна відносно °И и Т3 при веек 5 е 5. Я "

&&!$! Приклад. Візьмемо інтервал / з рівномірністю °Ц, інду-
цированной природною метрикою на /.На добутку /™,
де т ~^ До, розглянемо рівномірність ^ш — добуток щ
копій рівномірності °ДО,. Очевидно, що <2/'п индуцирует на./т те-
пологию тихоновского куба ваги га. Легко бачити, що так (^т)«^ т
,.«^«.'^|1едетй"ія-_2.§-г8!ёг«йедует.,-!5Шо iv ((ит] = т. * '

Кожне тихоновское простір X ваги ^Ст можна рас-сматривать як підпростір /т. Тому що рівномірність <2/ш индуцирует на /т топологію тихоновского куба, равномер-ность\(<2/ш)^ индуцирует вихідну топологію на X. Тому опология всякого тихоновского простору ваги ^га індукована деякою рівномірністю ваги ^ш. Я

$%$$. Теорема. Кожен рівномірний простір рівномірно ізоморфно підпростору добутку деякого сімейства метризуемых рівномірних просторів.

Доказ. Розглянемо рівномірний простір (X, <і). Згідно (з), для кожного V е ^2/ існує послідовність Уо, vi, ... елементів °И, така, що

(Т) У0 = ХХХ, У1 = У и ЗУ/+,су« для 1=1, 2, .'..:

Н§«Й1«Бёу^нс*^в©^»0й~^гЫ(:)г'!Д'Я«»««^?8; §озьмем таку псевдометрику ру на безлічі X, що для будь-якого 1^1

(2) V, з {(х, у): ру(х, у) ^ 1/2'} з ^_,.

Думаючи хЕуу тоді і тільки тоді, якщо ру(х,у) = 0, ми визначимо відношення еквівалентності Еу на безлічі X (ерт=е уЯ^з^^); нехай Ху — безліч усіх класів еквівалентності для Еу. З нерівності трикутника випливає, що для всіх х, х', у, у' е X, таких, що хЕух' і уЕуу', ми маємо

Ру(х,у) = ру(х',у').

Таким чином, думаючи ру([х], [у]) = ру (х, у] для всіх [х], [у]^Ху, ми визначимо метрику ру на безлічі Ху. Нехай

°Иу — рівномірність на безлічі xv, індукована метрикою р/.-З (2) випливає, що, думаючи }у(х) = [х], ми визначимо ' рівномірно безупинне відображення /V простору (X, °И) ' у простір (Ху,сИу)-

^'-,^едяоженйа=&^^зе«У85гй^чин» діагональ 'Л /> є

ДО е %

рівномірно безупинне відображення (^Г, °11} у добуток Г П xv, Ц <2/тЛ.Ми покажемо, що звуження $ = ( Л М1.ДО

1ке% УеЫ ) \У*=<і Л

є рівномірний ізоморфізм.

З (114), (1) і (2) випливає, що для кожної пари х, у різних крапок простору X існує таке V^.°І, що ру(х,у) > 0; тому }(х)^= }(у), відкіля видно, що / — взаємно однозначне відображення.

Залишилося довести, що /-1 рівномірно безупинно відносно ( Ц °Иу\ і аМ> т- е- показати, що для будь-якого

\Уе^<?.( ) П%)

Уо^^ існує таке Р7е Ц <иу, що \х — г/|< Уо, коли

до е «

1/М — /Ы 1< ^- Але з З1) і (2) випливає, що

^ = {(Ы'Ы):Рк„К„. Уу^<Щ. *
має необхідні властивості. I

Зауваження. Відзначимо, що якщо в доказі попередньої теореми ми розглянемо тільки такі V, що належать деякій базі рівномірності °И, то відображення / — також рівномірний ізоморфізм. Тому кожен рівномірний простір ваги га рівномірно ізоморфно підпростору добутку т