Відзначимо також, що не існує універсального простран-
ства для всіх рівномірних просторів ваги ^ю, тобто не су-
ществует рівномірного простору (X, °И) ваги ^ю, такого,
що для будь-якого рівномірного простору (У, Т) ваги ^ш воно
містить рівномірний підпростір, рівномірно изоморф-
ное (У,Т). Справді, вага дис-
кретного рівномірного простору дорівнює 1, і тому що мощ-
ность безлічі X може бути довільно великий, не суще-
ствует рівномірного простору, що містить подпростран-
ства, рівномірно ізоморфні — чи навіть підмножини, рав-
номощные -всім дискретним рівномірним просторам.

НЭ-оставшейея-чаети этого~ттгр~ЭТттахра~-*ш -обговоримо простран-етва-езюбражевднй.

Нехай X — топологічне, а (У,°И} — рівномірне простору. Через Vх позначається безліч усіх безупинних відображень простору X у простір У, де В постачене топологією, індукованої °И. Для кожного Уе^ позначимо

через V оточення діагоналі А с: Vх X Ух, визначене фор-
мулой *

р={(/,|г): \!(х)~§(х)\<У Для будь-якого *&*}. З легко установлюваних формул

випливає, що сімейство {ДО: V е ^/}має властивості (ВШ)— (ВШ). Рівномірність на безлічі Vх, породжена цим сімейством, буде називатися рівномірністю рівномірної збіжності, індукованої °11, і позначатися °П.

Якщо рівномірність <і індукована обмеженої метри-
який р на В, то так ('-і) ^ До, так що ('йё-^^реадйй^ЗФ) дорівнює-
мірність <й індукована деякою метрикою' на Vх. Легко
перевірити, що метрика р, ,про^е.дйч^4»»Ц*ор«^аб!8&^#'^*^§-и"4?§,
индуцирует рівномірність <і. Й1ййЙй.у «Ю-
^-ё^^гч^р-для двох равномерностей <і\ і <2/2 на В, що
индуцируют ту саму топологію, топології на Ух, индуци-
рованные °і\ і <%, можуть розрізнятися. Виявляється, для кому-
пакту X — як і у випадку метричних просторів — топологія
на Ух не залежить від вибору рівномірності °і на просторі
В, оскільки топологія, індукована °И, .збігається з кому-
пактно-открытой топологією на Ух. Цей факт є наслідок
доказуваної нижче теореми.. Щоб сформулювати її,
потрібно ввести іншу рівномірність на Vх.

Для хаусдорфова простору X і рівномірного простору (У,°і) позначимо через СЫ\ЗС(Х) рівномірність на Ух, породжену базою, що складається з усіх кінцевих перетинань безлічей виду

Р\2={(?,8): \!(х)-§(х)\<У для 'усіх хе=-2],

де В^.°І, 2^3^(Х) і &(Х) — сімейство усіх компактных.підмножин простору X (чвФа-тель легко мож«-т-=у»ер*1ТБ,

-чзадсее*4«страва""йёё?-кввеи»ых-«ересечений множееш=в-^6^«бла-'' .§,рбчр-ее§*етртя-1М*** (У=Ш)'-^~(-У%):3)-). Рівномірність °й\^(Х)^ буде називатися рівномірністю рівномірної збіжності на компактах, індукованою рівномірністю °И.*

4&/Ь. Лема. Якщо топологія простору X індукована деякою рівномірністю °И, то для кожної компактної безлічі 2 з: X і усякого відкритої безлічі З, що містить 2, знайдеться таке V <= °11, що В (2, У)а О.

Доказ. Для кожного -х <= 2, виберемо УХ^.°І так, щоб У(х, 2Ух)з: О. 1^рз.йедааД1^д^У^^№»яД№^ц.аа1У- (Гемей-

ство {2{\ШВ(х, Ух)}х^2,ссть відкрите покриття безлічі 2; тому існує кінцева безліч {х\, л'2, ..., хр} сг 2, для якого

(4) 2 зі шв(хь ух,) і шв(х2, ухг) і... і шв(х,, уХ!гу,

покладемо V = УХ} П УХг Л * * * Л 1-Ч е ^- З (4) випливає, що для " будь-якого А' е 2 існує таке м ^ /м, що | х — хг | < Vх.. Для будь-якої крапки х'^У(х, У)аВ(х, 17Х.) ми маємо х'е^У(хГ, 2Ух}с.ПРО,~ так що 3(2, V) <=. О. |

^Ш^ Теорема. Для всякого хаусдорфова простору X і каж- * дого рівномірного простору (У,°И) топологія на Vх, індукована рівномірністю (й\3^(Х} рівномірної збіжності на компактах,, збігається з компактно-открытой топологією на Ух, де В постачено топологією, індукованої °И.

Доказ. Позначимо через ОБ\ топологію на Ух, ин- * дуцярованную рівномірністю сй\ДО(Х), а через (У2 компактно-открытую топологію. Спочатку ми доведемо, що Оъ<^.ПРО\. Очевидно, досить показати, що всі безлічі.М(2, ПРО), де 2^&(Х) і ОБ — відкриту підмножину в У, належать ПРО\. Розглянемо 2^^(Х), відкрите безліч О с: У и деяке 1<^М(2, З). Тому що В — тихоновское простір, /(2) — кому-

У({(2),У)з. Очевидно, У([,Щ2)з:М(2,0), і тому що /Ч-
довільний елемент М(2, З), те М(2, ПРО) е ПРО\. *

Доведемо тепер, що ПРО\ сг (У2. Очевидно, досить показати, що для будь-яких 2&&(Х), У^°И и 1<=УХ існують компактні підмножини 2,\, 22, ..., 2% простору X і відкриті підмножини Сь З2, ..., З& простору В, такі, що

і

}*=(}М(2„0{)<=:У(},У\г).

.1 = 1

АсУЯ^, що замкнуто щодо топології, індукованої °і на ЮШКУ, і задовольняє включенню 3\Вус: V. Тому що 1(2} — компакт, те існує кінцева безліч

**

(а-ь х2, ..., а'*} з: 2, таке, що / (2) з= [] У(1(хГ), \У). Ми по-

1 = 1

показуємо, що безлічі

21=2ПГ1(У([(х{),-Щ и 01 = 1п1В(!(х1),2\У) .'* ...

мають необхідні властивості.

Помітимо, що з замкнутості И? в-Ух У випливає замкнутість куль -У (/(*/), II7) в У и компактність .безлічей 2;. Більш того,

/<= У М(2м, Сг-). Розглянемо відображення ^ (= Р) уИ(2^, Ог).

1 = 1 ' ' 1=1

Для кожного х<=2, існує таке I ^ /м, що х<=2м, оче-'- видно,

8(х)е=У(1 (л-л, 2 М) і / (х) е Я (/.(*,), Г).

Тому \1(х) — §(х) |< З^з V для кожного хеч2, а це показує, що § (= Л(/, Vх |^). I

40%? Наслідок, Нехай X — компакт і (У, <2/)— рівномірний простір. Топологія на Vх, індукована рівномірністю <Ы рівномірної 'збіжності, збігається з компактно-открытой топологією на Vх і залежить тільки від топології, індукованої на В рівномірністю °11.1

год*@=год«цаддврф«1а«1у{шсав^м*«5у*=йД?1 Насправді для кожного