Для відображень топологічного простору X в-тихоновское простір У можна визначити поняття равностепенной безперервності щодо рівномірності °й на просторі В: сімейство Р відображень X в У називається равностепенно безупинним щодо рівномірності °И на просторі В, якщо для кожної крапки х^Х и всякого V^°И існує така околиця Об крапки х, що \{(х) — /(а-') |< V, коли / е Е и х'ео. Для такий равностепенной безперервності справедливі аналоги класичної теореми Асколи. Перш ніж сформулювати аналоги, доведемо двох лем, що показують, як равностепенная безперервність зв'язана з поняттям одноманітної_неггр_ерывности,, вевдвейй&год^^Й^^ЙиА". -*

Сімейство відображень Рс.Ух

одноманітно безупинно, якщо для кожної крапки х е X, кожної крапки в е У и всякої околиці Н крапки в існують околиця Об крапки х і околиця Я' крапки в, такі, що з умов / е Р и 1(х) е Н' випливає включення 1(0} <п Я.

ЗШЦШ? Лема. Нехай X — топологічний простір, У-тихоновское простір і °И — рівномірність на просторі У. Якщо сімейство Р с Ух відображень X в У равностепенно безупинно відносно <і, те сімейство Р одноманітне безупинно.

Доказ. Припустимо, що РаУх равностепенно безупинно відносно °И; розглянемо х^Х, у^У и окре-

стность Я крапки в. Виберемо V^°і,, що задовольняє включе-' нию В (у, 2У)з:Я, і таку околицю Об крапки х, що |/(х) ——

/(*') I < У. як тільки / <її Р и х' «= С. Покладемо Н' = У (у, V) і розглянемо таке /еД що /(х)<=Я'. Тоді |г/— /<А')|< 'ДО, так що для кожної крапки х'ес ми маємо |г/— /(*') <,2У, тобто /(л;') е В (у, 2У) з: Я. Звідси /(З) з: Я, і тим самим одноманітна безперервність сімейства /* " доведена. 1

вйШ; Лема. Нехай X—топологическое простір, У — тихоновское - простір і °И — рівномірність на просторі У. Якщо сімейство Р с: Vх відображень X в В одноманітно безупинно і для кожної крапки х^Х безліч {{(х): /е.Р} має компактне замикання, то сімейство Р равностепенно безупинно відносно Ш.

Доказ. Припустимо, що Р с: Vх одноманітно безупинно і безлічі А (х)= {/(л-): /е/7}—компакты; рас- . дивимося крапку х е X і В<=4^. Виберемо елемент ЧУ е <2/, такий, що 21^з; V, і для кожної крапки уеА(х) і її околиці Н(у) = 1п{(У(у, Щ) виберемо околицю ПРО (у) крапки х і околиця Н'(у) крапки в таким чином, щоб з умов 1^Р и 1(х)^Н'(у) випливало включення 1(0 (у)) з: Н (у). Тому що

безліч А (х) компактно, існує кінцева безліч

а

{г/ь г/г, ..., г/*} сг Л (х), таке, що Л (х) з: У Я' (г/г). '

1 = 1

Нехай / — функція в Р и х' — крапка в околиці ПРО =

і—

П ПРО (г//) крапки х. Знайдеться таке м ^ ^, що 1(х}<^Н'(у{), *

г = 1 -

так що /(З (г/,-)) з: Я(гу/). Тому що * і л'' належать З(г/г-)> маємо 1(х), 1(х') &. Н (уI), тобто |[(л') — /(^/)1<^/; это'показы- ' . вает, що сімейство .Р равностепенно безупинно відносно <2/. I

Э»м»*ш№*-^!^^еш^^4^Ю»й^

8.2.10. Теорема Асколи. Нехай X є ^-простір, У-тихоновское простір і °і, — рівномірність на просторі У. -Замкнута підмножина Р простору Ух з компактно-открытой топологією компактно тоді і тільки .тоді, коли Р равностепенно' безупинно відносно °И и безліч {/(х): / е Р} з: У має компактне замикання для кожного х^Х. * Наступний варіант^ео'ремы Асколд предотавляет/с.обой аналог теореми 8.4&Ь?він випливає ,йз ^їм^' 82.8/ У^.^й тео-р.емы «ЛЙ,21. У формулюванні теореми ми використовуємо символ Р\2, де Р<^УХ і 2ах, для позначення сімейства звужень {1(2:1<=Р} <=Уг.

^^^м. Теорема. Нехай X є ^-простір, У—тихоновское простір і °і — рівномірність на просторі У. Замкну-

8.3. ЦІЛКОМ ОБМЕЖЕНІ

л І ПОВНІ РІВНОМІРНІ ПРОСТОРИ.
(\г КОМПАКТНІСТЬ У РІВНОМІРНИХ ПРОСТОРАХ

Нехай (X, °11) — рівномірний простір, V — произволь-
ный елемент рівномірності Ш и.АсХ. Будемо говорити, що Ч
безліч А У-щільна в (X, °И), якщо для кожного х <= ^'най-'~
дется таке х' е А, що \х — х'\<.У. \

Рівномірний простір (X, °і,} цілком обмежено, якщо для кожного V^°И -існує кінцева безліч АаХ,. До-щільне в просторі (Х,Щ}. Рівномірність <2/ на безлічі X цілком обмежена, якщо простір (X, °і} цілком обмежено.

Легко установити, що якщо існує рівномірно непре-
рывное відображення / цілком обмеженого рівномірних про-
странства (Х,°і) у рівномірний простір (У,Т], таке, що
}(Х)-У, той простір (У,У) також цілком обмежено.
Зокрема, цілком обмеженість є рівномірний инва-
риант. .

Пропозиція. Нехай рівномірність <і на безлічі X индуцируется метрикою р; тоді рівномірний простір (X, °И} цілком обмежено в тім і тільки, тім випадку, якщо метричний простір (X, р) цілком обмежено. У

Приведене вище визначення описує деякий клас
рівномірних просторів. Виникає питання, чи існує
внутрішня характеристика топологічних просторів, топо-
логия яким індукована цілком обмеженої равномер-
ностью. По/обная Характеристика існує/але де предртав- ;
ляет,,<йнтер€са: мз! покажемо в/лрим/ре 8.3.4, що топологія' чи- **
бого тихнув^новсдбго 'про,странства