.% попередньому Дарй^а-фі, і помітити, що кожен простір , (X, °З) рівномірно ізоморфно деякому підпростору добутку ( П Х5, Ц ^5Х а--а«* ?е«"* ^Я^Б^йваьь-^а©е^гжде-» $Ш? Теорема. Нехай (Х,Щ)— цілком обмежений рівномірний простір; тоді для кожної підмножини М с: X про- :. * странство (М, 'Ым) цілком обмежено.

Нехай (Х,(і)— довільний рівномірний простір,, і нехай для Л4 з: X простір (М,цим) цілком обмежене; тоді простір (М,(?/^) також цілком обмежено. I

^§8|11?? Теорема. Нехай {(Х5, ^5)}5е5 — сімейство непорожніх рівномірних просторів. Добуток ( Д Х8, П <2/Л цілком

\х е 5 5 е 5 /

обмежено в тім і тільки тім випадку, коли всі простори (Х$, °і$) цілком обмежені. I

Приклад. Нехай X — тихоновское простір і *&* — рівномірність на просторі X, про^Ре%&у»вяяя~в-щ4шер&8,-Ы9м Ми покажемо, що рівномірний простір (Х,Ч!?*) цілком обмежено,

Досить довести, що для будь-який кінцевий последова-, тельности }\, /2, * * *, /а елементів З*(Х) і будь-якого е > 0 можна визначити кінцева безліч АсХ, таке, що для кожного х^Х існує х'<=А, що задовольняє умові " .

Р?,; 1М *.* . ^ (х, х') = тах{\ /, (х) - /, (х') \, \ /2 (х) - /2(хг) \, ...

.-., !/*(*)-/*(^)1}<е.

Виберемо обмежений замкнутий інтервал / з: ДО, що містить усі безлічі ^(Х), ^(Х), ..., {ь(Х), і розглянемо деяке покриття (Лг-}^1, інтервалу / безлічами, диаметр. яких менше е. Безлічі виду

(ПРО /Г'^ПРО^'^п.-.п/;1^^ . ***''.- :

де I ^ ^^ ^ т при / ^ А, утворять покриття простору X, і діаметр кожного з них відносно псевдометрики Р?,, }2,..., ?ь менше е. Вибираючи по крапці з кожної непорожньої безлічі виду (I), ми одержимо кінцеву безліч А, що володіє необхідною властивістю.

, Читач * може шегко установити, 1чтр йещЪстЭен^ая] и|я-иая 7? с рівномірністю ^ офе^ёдендойив (прикладі 4-Г.ДЯ, Vе я-вчяйерся^внфлне ргр^і^нйрй. [* '^

Нехай (Х\°И) — рівномірний простір і ^" — деяке
сімейство підмножин безлічі X. Говорять, що &~ містить
довільно малі безлічі, якщо для кожного V'^°11 най-
дется таке Ре^~, що 6(Р)< V. З (1)4) випливає, що якщо
сімейство В містить довільно малі безлічі, то пері-
перетин Г) У складається не більш ніж з однієї крапки. *

Рівномірний простір (Х,%) називається повним, якщо кожне сімейство В підмножин безлічі X, замкнутых. у топології, індукованою рівномірністю °і, центрованийі-, ное й утримуюче довільно малі безлічі, має непорожнє перетинання. Рівномірність °11 на безлічі X називається повної, якщо простір (Х,®6) повне.

Легко установити, що повнота є рівномірний інваріант, '* але не є інваріантом рівномірно безупинних відображень (порівн1 &'упр. 4.у.У^Д и 8:1|А(.ау. І4т4°]&гмУ У-.^лЫвдт^пекло^еЦ- ^

«у-*!,- ,-** Чж/ " . -

ММ№ Пропозиція. Нехай рівномірність °И на безлічі X індукована метрикою р; тоді рівномірний простір (X, <Ы) повно в тім і тільки тім випадку, коли повно метричний простір (X, р). I

$&$$ Теорема. Нехай (Х,°11)— повний рівномірний простір; тоді для підмножини М с X рівномірний простір (М, Шм) повно в тім і тільки тім випадку, коли М замкнуто в X щодо топології, індукованою рівномірністю <і.

Доказ. Припустимо^ що простір (М, °їм] повне, і розглянемо крапку х^М. Нехай Сімейство^-у-сімейство всіх безлічей виду В(х,У)(]М, де V — елемент із °И, замкнутий у топології, індукованою рівномірністю °Ы на ХУ(Х.$Ц& - е^Й^№Йи^4МШ^1Д|^^1зй^^^^йу Сімейство ЗГ центроване. Легко бачити, що В складається з підмножин простору М, замкнутих у топології, індукованою рівномірністю °Ц,м, і що В містить довільно малі безлічі. Тому що [\У'с: {х}, те з повноти простору (М,°Ц,м) випливає, що х ^ М.

З визначення повноти безпосередньо випливає повнота простору (М,°їм), за умови що простір (Х,Ш) повне, а М замкнуто в топології, індукованою рівномірністю ^.1

с,Уее-р.ема-=4гЗгИ, пропозиція- &3=.5 л'^б««уддны-й--фа«У;, що
«ізометрія на» є рівномірний ізоморфізм інд/уцир;ова,нных!
рівномірних, просторів^, приводить у/сл/дую/цем/ предло-
фешюи "*

Ш&Л. Лема. Для будь-якого метризуемого рівномірного простору (X, °И} існує, повне метризуемое рівномірний простір (У, Т), таке, що для деякого М с: У простір (Х,<Ы) рівномірно ізоморфно простору (М,Тм). I

^4е-*еерШ^31Е§Е<1з^Ь«^^ ется
$$&! Теорема. Кожен повний рівномірний простір рав-
номерно ізоморфно замкнутому підпростору добутку
сімейства повних метризуемых рівномірних просторів. I

&ЛУ& Теорема. Нехай {(Х5. (115)}е(_5 -сімейство непорожніх рівномірних просторів. Добуток ( Д Х3, Ц <2/Л повно

Ч$<=5 56Е5 /

у тім і тільки тім випадку, якщо повно кожен простір №,%).-

Доказ. Якщо добуток (* П Ха, Ц ШЛ повно,

\яе5 8е5 /

той кожен простір (Хц, Ша) повно, тому що воно рівномірно ізоморфно замкнутому підпростору добутку.

Доказ повноти добутку повних рівномірних просторів аналогічно доказу теореми Тихонова. Потрібно тільки помітити, що якщо сімейство &~о, розглянуте в цьому доказі, містить довільно малі безлічі, те визначені там сімейства 'ИГ$* також містять довільно малі безлічі.