У нас: 141825 рефератів
Щойно додані Реферати Тор 100
Скористайтеся пошуком, наприклад Реферат        Грубий пошук Точний пошук
Вхід в абонемент


Простір мір. Функтори ймовірнісних мір.

3.1 Міри. Нехай Х – бікомпакт. Неперервний функціонал назвемо мірою на Х. Основою назви являється теорема Ріса про ізоморфізм між нормованим простором (С(Х))*, спряженим до С(Х) (простором неперервних функціоналів на С(Х)), і простором М(Х) кінцевих регулярних мір на Х. Теорема Ріса нам не потрібна. Тому не дається ніяких визначень з теорії міри і розуміємо під мірою всякий неперервний функціонал на С(Х). Інколи використовуємо символ , не розуміючи під цим нічого, окрім значення функціоналу на . Бажаючі, зрештою, можуть розуміти це і як результат ігнорування функції згідно (рахунково-адитивної кінцевої регулярної функції борелівських множин). Отже, використовуємо позначення М(Х) для простору (С(Х))*.

3.2 Міра М(Х) називається позитивною (символічно 0), якщо ()0 для всякого 0. множина позитивних мір називається позитивним конусом простору М(Х).

Міра позитивна тоді і тільки тоді, коли.

Насправді, нехай м0 і ?1. Тоді . Звідси, , звідки . Навпаки, нехай тепер і . Покладемо . Оскільки , маємо , тобто . Відповідно, .

Міра µ називається нормованою, якщо . Позитивна нормована міра називається імовірнісною.

Із 3.2 випливає, що позитивна міра µ являється імовірнісною тоді і тільки тоді, коли .

3.4 Простір мір в слабкій топології. Наділимо множину М(Х) слабкою топологією, тобто вважаємо М(Х) підмножиною числових прямих . Базу округів елемента М(Х) утворюють множину О(м, ц1, ..., цк, е ), де , е>0 і О(м,ц1, ..., цк, е )=. Отже, М(Х) – абсолютно регулярний простір. Підпростір М(Х), що складається з усіх імовірнісних мір, позначимо Р(Х).

3.5 Твердження. Р(Х) – бікомпакт.

Доведення. Помітимо спочатку, що Р(Х) замкнуто в . Насправді, якщо , то функція лінійна:

якщо , С(Х), >0, то візьмемо 1Р(Х) так, що . Тоді

, тобто . Аналогічно .

Далі, :

якщо і , то існує таке , що . Тоді , тобто і, отже, . Аналогічно, . Таким чином, згідно 3.3.

З іншого боку, Р(Х) лежить в окрузі відрізків . Отже, Р(Х) – бікомпакт. Твердження доведено.

3.6 Говорять, що міра зосереджена на множині , якщо для будь-якої , що перетворюється в нуль на F. Найменша замкнута множина, на якій зосереджена міра , називається її носієм і позначається supp.

3.7 Лемма. Для всякої точки існує єдина ймовірнісна міра , зосереджена в х.

Доведення. Нехай - така міра. Тоді и, отже, . Зрозуміло, з іншого боку, що міра , яка визначається рівністю , ймовірнісна і зосереджена в точці х.

Міра називається мірою Дікара, зосереджена в точці х.

3.8 Відображення , що переводить точку х в міру , неперервно і, отже, є гомеоморфізмом.

Доведення. В довільній окрузі міри міститься базисний окіл . Існує така округ Ох, що для всіх і . Тоді . Теорему доведено.

3.9 Для безкінечного бікомпакта Х маємо .

Доведення. Згідно 3.8 бікомпакт Х вкладається в Р(Х). Звідси слідує, . З іншого боку, зрозуміло, що функції у визначенні топології на М(Х) можна брати з щільної С(Х) множини, а пропонувати раціональним. Але з 11.3.12 випливає, що для нескінченого Х. Це і завершає доведення 3.9.

3.10 Функтор Р. Нехай - неперервне відображення. Визначимо відображення , припускаючи

.

Відображення неперервно. Насправді, нехай і . Візьмемо базисний окіл міри v, покладемо та покажемо, що . Якщо , то . Але згідно (1) це рівносильно нерівності , звідки отримуємо, що .

Безпосередня перевірка показує, що . Таким чином, Р – коваріантний функтом, що діє в категорії Comp.

3.11. Функтор Р неперервний.

Доведення. Нехай , де - зворотній спектр з бікомпактів. Простір P(Х) відображається в межах спектра P(S) за допомогою р відображень , де - наскрізна проекція. Слід показати, що р – гомеоморфізм.

Перевіримо спочатку, що відображення р взаємно однозначно. Нехай - дві різних міри. Тоді існує така функція , що . За теоремою Вейерштрасса-Стоуна множина функцій вигляду , де , всюди щільно в С(х). Тому існує таке і така функція , що . Оскільки , маємо . Тоді

. Значить, . Але згідно (1) маємо . Таким чином, відображення переводить і в різні міри. Тим паче це вірно для відображення .

Тепер покажемо, що - епіморфізм. Нехай . Це означає, що для довільного існує така міра , що при маємо:

,

де - наскрізна проекція спектру . Рівність визначає лінійний функціонал на підпросторі , що складається з усіх функцій вигляду . При цьому для маємо і, крім того, згідно (2). Таким чином, визначений лінійний функціонал на просторі . Зрозуміло, що і - незаперечний функціонал. За теоремою Хана-Банаха існує продовження функціонала на всі С(Х). Оскільки С за теоремою Вейерштрасса-Стоуна всюди щільне в С(Х), це речення єдине і являється імовірнісною мірою, оскільки і . З (2) і (3) випливає, що . Теорему доведено.

3.12. Якщо мономорфизм, то – також мономофрізм.

Якщо – дві різні міри, то існує така функція , що . За теоремою Брауера-Тітце-Урисона існує така функція , що . тоді згідно (1) маємо, звідки . Твердження доведено.

3.13. Мірою з скінченим носієм назвемо міру, носій якої складається з скінченого числа точок. Нехай носій міри . Візьмемо функції , які є підпорядковані умові

Покладемо . За означенням носія міри числа не залежать від вибору функцій , що задовольняють умову (4), і, відповідно, однозначно визначаються мірою. Назвемо число -мірною точкою .

Функції , що задовольняють умову (4), можна вибрати


Сторінки: 1 2 3 4