. (5)

Мають місце і строгі нерівності

для всіх і=1, ..., n.

Насправді, припустимо, що для деякого і. Покладемо і візьмемо довільно функцію , рівну нулю на А. Якщо , то за визначенням носія міри. Якщо ж , то покладемо . Функція задовольняє умову (4). Означає, . Але тоді і . Відповідно, міра зосереджена на множині А. Але це протирічить тому, що .

Тепер покажемо, що міра з кінцевим носієм однозначно визначається -мірами точок через носій. А власне,

або з врахуванням визначення міри Дірака .

насправді, довільну функцію можна представити у вигляді

де функції задовольняють умові (4). Тоді

.

Таким чином, доведено

3.14. Міри скінченими носіями – це в точності випуклі лінійні комбінації (8) мір Дірака.

3.15. В цьому пункті всі функції є неперервними. Покладемо

Нехай . Тоді наступні властивості безпосередньо випливають з визначень.

Якщо , то

Якщо , то .

якщо , то

Якщо , то .

.

Назвемо так визначене число -мірою множини F. Наведемо деякі властивості міри замкнених множин.

Монотонність. Якщо , то . Випливає з 3.16.1.

. Випливає з 3.15.3 та 3.16.2.

Адитивність. Якщо , то

.

Згідно 3 достатньо перевірити нерівність . Нехай . тоді існують такі функції , що . Насправді, візьмемо округи , що не пересікаються, і такі функції , що . Поставивши , отримаємо потрібні функції. Тоді

- окіл множини F.

5. , де округ множини F.

Щоб довести це, достатньо для кожної функції і будь-якого найти функцію , для якої . Множина - округ множини F. Функція 1- на множині заключна в межах від 0 до . За теоремою Бракера-Тітце-Урисона її можна продовжити до такої функції , що . тепер залишається покласти .

Регулярність. Для всякого околу OF і будь-якого існує така замкнута множина , що . Згідно 5 існує така функція , що . При цьому можна припустити, що . Покладемо . Тоді . Тому . Оскільки , маємо

.

Тому . Залишається помітити, що згідно 4 маємо .

Для будь-якого кінцевого відкритого покриття бікомпакта Х і будь-якого існує така диз’юнктивна система замкнених множин , що

.

Індукція по n із використанням 6.

Якщо , то .

Випливає з того, що для всякої функції(supp ).

3.18. Інтегрування ступінчастих функцій. Нехай в просторі Х дана диз’юнктивна система замкнутих множин , і нехай дано дійсні числа . Ступінчатою функцією, яка визначена множинами і числами , називається частинно-стала функція, рівна на і B на .

Назвемо ступінчату функцію функцією позитивного роду, якщо , і негативного роду, якщо .

Інтегралом ступінчатої функції по мірі назвемо число

(10)

назвемо дві ступінчаті функції і незалежними, якщо . Зрозуміло, що сума незалежних ступінчатих функцій – ступінчата функція вигляду:

і

(11)

3.19. Нехай і , де , - ступінчасті функції відповідно позитивного і негативного роду. Тоді

(12)

Доведення. Оскільки множення на –1 переводить ступінчасті функції позитивного роду в ступінчасті функції негативного роду і навпаки, достатньо довести одна з нерівностей (12), наприклад ліва. Далі, додаючи до обох частинам нерівності постійну функцію, вважаємо, що . Функцію можна представити в вигляді суми

Функцію також можна подати у виді суми =1+...+n, де . Тому з врахуванням рівності (11) достатньо доказати нерівність (12) для “одноступінчастої” функції . Помноживши обидві частини нерівності на 1/а (якщо а=0, то 1 неперервна), рахуємо, що 1 – характеристична функція множини F. Тоді , для будь-якої функції , зокрема для . Приклад доказано.

3.20. Міри з кінцевим носієм утворюють щільну в Р(Х) множину.

Доказ. Візьмемо базисний окіл , будь-які міри . Існує скінчене відкрите покриття бікомпакта Х, коливання будь-якої функції і на кожному елементі, якого менше 3. Візьмемо число М так, що для всіх і і=1, ... , k. Згідно 3.17.7 існують такі попарно неперетинаючі замкнуті множини , що

(13)

Без обмежень загальності можна рахувати, що для всіх j=1,…,n. Існують такі числа m1, … ,mn, що m1+ … +mn=1 і

(14)

Візьмемо будь-яке по точці і покладемо . Покажемо, що , Припустимо

,

(15)

Маємо

(16)

Визначимо ступінчаті функції , і=1,...,k, припускаючи

,

Видно, що - функції позитивного роду, а - негативного. Провіримо нерівності

,

і=1,...,k (17)

Провіримо ліві з них. Маємо

(згідно 3.19)

(згідно (13) і (15)) >

(згідно (14)) >

(згідно (16) і

нерівностям

Праві нерівності (17) провіряються дещо простіше. Приклад доказано.

3.21. Якщо - епіморфізм, то Р(f) – також епіморфізм.

Відмітимо, спочатку, що відображення Р(f) накриває всі міри з кінцевими носіями, тобто . Насправді, взявши довільне по точці і поклавши , бачимо, що . Застосування прикладу 3.20 завершує приклад.

Інтеграл Рімна і ступінчасті функції

1. Інтеграл Рімна. Під n-вимірним прямокутним паралелепіпедом В ми будемо розуміти множину точок вигляду

,

причому природно припускається, що

.

Такі прямокутні паралелепіпеди назвемо брусами. Максимальне з чисел назвемо розміром брусу В. Величина

є об’єм брусу В. Функція s(B) є адитивна функція свого аргументу; це означає, що якщо брус В розбити на підбруси В1,...,Вр, які не мають внутрішніх точок (такий набір під брусів назвемо розбиттям брусу В), то s(B)=s(B1)+…+s(Bp).

Брус, продовження всього курсу, назвемо основним і позначимо через В.

Нагадаємо тепер схему побудови інтегралу Рімана. Нехай – дійсна гранична функція, , задана в основному брусі В. Розглянемо розбиття П брусу В на підбруси В1,...,Вр і в кожному із брусів Вk виберемо довільну точку . Складемо інтегральну суму Рімана

.

Позначимо через d(П) нійбільший із розмірів брусів В1,...,Вр. Нехай тепер є послідовність розбиттів , для якої . Якщо числа мають при границю, що не залежить від вибору послідовності Пq (лише б ) і виборі точок ,