.

2. Верхній і нижній інтеграли. Нехай П є розбиття основного брусу В на підбруси В1,...,Вр; припустимо

,

.

Вираз

називається нижньою інтегральною сумою Дарбу для функції f(x), що відповідає за розбиття П. Аналогічно,

називається верхньою інтегральною сумою Дарбу для функції . Очевидно, при любому виборі точок (k=1,...,р) ми маємо

,

де

,

.

Порівняємо значення нижньої і верхньої суми для двох різних розбиттів П і Пґ основного брусу В. Нехай спочатку отримано подальшим підрозбиттям брусів розбиття П. Кожен доданок суми виду при переході до Пґ заміниться на суму виду

,

де

, а .

Так як , то

,

звідки

.

Таким чином, при переході від розбиття П до розбиття Пґ нижня сума може лише збільшитись. Аналогічно, при переході від розбиття П до розбиття Пґ верхня сума може лише зменшитись.

Нехай тепер П і Пґ – довільні розбиття. Роздивимось все можливі пересічення брусів розбиття П з брусами розбиття Пґ ; їх сукупність визначає нове розбиття Пґ ’, більш мілке як по відношенню до П, так і по відношенню до Пґ . В силу попереднього ми маємо

.

Відповідно, будь-яка нижня сума Дарбу не перевищує любої із верхніх сум Дарбу.

Наприклад

,

,

де верхня і нижня грані беруться по всім розбиттям брусу В. Ці величини називаються відповідно нижнім і верхнім інтегралами функції по брусу В. В силу доказаного ми маємо

Нехай П1,…,Пq,... – довільна послідовність розбиттів брусу В, для якої ; покажемо, що завжди

,

Для заданого знайдемо розбиття П таке, що

.

Оцінимо, дальше, величину . Бруси розбиття Пq об’єднаємо в дві групи: в першу віднесемо те (позначимо їх ), які повністю лежать в брусах розбиття П, у другу – ті, які перетинаються з гранями брусів Вr розбиття П (їх позначимо ). Тепер представимо в формі

.

Дальше, добавимо до системи брусів ще деякі бруси з брусами Вr, щоб отримати повне розбиття основного брусу В, більш мілке, чим розбиття П. В результаті ми отримаємо

, (1)

і, відповідно,

Нехай GП є загальна площа всіх граней розбиття П. Так як бруси і пересікаються з гранями розбиття П і мають розміри, не перевищуючі d(Пq), то кожна з двох останніх сум в (1) не перевищує по модулю .

Виберемо q так, щоб мати ; тоді очевидно, ми отримаємо

звідки

,

що і потрібно.

Для верхніх сум доказ аналогічний.

Якщо інтеграл Рімана від функції існує, то верхні і нижні суми повинні мати загальну межу, так що для любої послідовності розбиттів Пq з

.

Навпаки, якщо хоча б для одної пари послідовностей розбиттів Пq, Пґ q (q=1, 2, ...) такий, що , , має місце рівність

то і для любої послідовності з

,

звідки слідує, що функція інтегруємо по Ріману.

3. Ступінчасті функції. Нехай мається розбиття основного бруса В на підбруси без спільних внутрішніх точок. Функція h(x), що приймає стале значення в кожному із брусів так, що

називається ступінчастою функцією. На граничних площинах підбрусів Bk, що являються площинами розриву функції h(x), її можна визначити різноманітними способами чи взагалі не визначати: значення h(x) на площинах розриву не являються важливими для подальших побудов.

Всю сукупність ступінчатих функцій в брусі В ми позначимо через Н або, при необхідності, Н(В). Сукупність Н є лінійний простір із звичайними операціями додавання і множення на дійсні числа: якщо h(x) і k(x) – ступінчасті функції, то їх лінійна комбінація з дійсними коефіцієнтами і також є ступінчаста функція. Саме, якщо - система під брусів, на яких стала функція h(x), а - система під брусів, на яких стала функція k(x), то перетин утворюють систему під брусів, на кожному з яких стала функція l(x).

Відмітимо ще деякі операції, які можна проводити в просторі Н. Абсолютна величина ступінчастої функції h(x) є ступінчаста функція. Дальше, якщо дані дві ступінчасті функції h(x) і k(x), то

,

суть також ступінчасті функції. Зокрема, для кожної ступінчастої функції h(x) являються ступінчастими також її позитивна частина h+(x), визначаємо рівнянням

,

і негативна частина h-(x), визначається рівнянням

Введемо поняття інтегралу від ступінчастої функції. (Ми не зв’язуємо це поняття з уже введеним інтегралом Рімана і тому застосовуємо інше позначення). Інтегралом функції h(x) по брусу В будемо називати величину

Інтеграл від ступінчастої функції володіє наступними властивостями:

а) для любих двох ступінчастих функцій h і k і любих дійсних чисел і ;

б) якщо при кожному х, то ; зокрема, якщо , то .

Для встановлення властивості а), маючи систему брусів , на яких стала функція h(x), і систему брусів , на яких стала функція k(x), ми роздивимось, як і вище, систему брусів , на яких постійні обидві ці функції; ми маємо, дальше,

,

.

звідки

.

що й треба. Аналогічно доказується властивість б).

4. Множина міри 0 і множини повної міри. В подальшому значну роль будуть грати покриття множин системами брусів. Ми будемо говорити, що множина А (в основному брусу В) покрито системою брусів . Для замкненої множини А є місце лемма про кінцеве покриття: з любої множини А системою брусів можна виділити покриття кінцевим числом брусів із цієї системи.

Введемо тепер визначення множини міри 0.

Визначення. Множина Z в брусі В називається множиною міри 0, якщо для любого його можна покрити кінечною чи рахованою системою брусів , сума об’ємів яких не перевищує .

Так, лист, тобто перетин брусу В деякою площиною, паралельній координатній площині, є множина міри 0, поскільки для любого є брус , що вміщує даний