З іншої сторони, весь брус В заздалегідь не є множиною міри 0. Дійсно, представимо, що він покритий системою брусів . По леммі і кінцевому покритті із цієї системи можна вибрати кінцеву підсистему, що також покриває брус В; сума об’ємів брусів навіть цієї кінцевої підсистеми перевищує об’єм s(B) брусу В і тому не може бути менше числа .

Порожню множина також будемо рахувати множиною міри ).

В подальшому ми часто будемо використовувати наступну властивість множини міри 0:

Об’єднання кінцевої чи рахункової сукупності множин міри 0 є множина міри 0.

Доказ. Роздивимось одразу випадок рахункової сукупності множин міри 0. Для заданого і для кожного m покриємо множину рахунковою системою брусів з сумою об’ємів, меншою (m=1, 2, ...). Тоді вся множина опиниться покритою рахунковою системою брусів (сума рахункової множини рахункових множин) із сумою об’ємів, менших . Відповідно, Z має міру 0, що і було потрібно.

Множина в брусі В, додаткове до множини міри 0, називається множиною повної міри.

Пересічення кінцевої або рахункової сукупності множин повної міри є знову множина повної міри. Дійсно, якщо - множини повної міри і , , ...- додаткові множини міри 0, то множина

в силу леммі має міру 0; звідси випливає, що є множиною повної міри, що й стверджувалось.

Якщо деякими властивостями володіють всі точки деякої множини повної міри в брусі В, то ми говоримо, що ця властивість виконується майже для всіх точок брусу В. Бувають функції, майже всюди неперервні, тобто неперервні в кожній точці, крім, може бути, множини міри 0. Для функцій, яким дозволяється приймати і нескінченні значення, є сенс назви “кінцева майже всюди”; це означає, що множина, на якій функція нескінченна, є множина міри 0.

Множина точок розриву ступінчастої функції, яке завжди розміщується на кінцевому числі листів, є множина міри 0. Множина точок неперервності ступінчастої функції – множина повної міри.

Можна дати нове визначення множини міри 0 в термінах інтегралів від ступінчастої функції. А саме, множина є множина міри 0, якщо для любого існує така послідовність ненегативних ступінчастих функцій , що всюди на множині Z і при любому m=1, 2, ... .

Провіримо, що це нове визначення еквівалентно вихідному. Нехай Z має множину міри 0 в розумінні вихідного визначення, так що при любому існує система брусів із сумою об’ємів, меншій , що покриває множину Z. Позначимо через ступінчасту функцію, рівну 1 на брусах і 0 поза межами цих брусів. Очевидно,

і ;

дальше, люба точка входить в деякій брус Вm, звідки і, відповідно, на множині Z, що й потребується.

І навпаки, нехай Z є множина міри 0 в розумінні нового визначення, так, що при любому є послідовність незаперечних ступінчастих функцій із властивостями , на множині Z. Розглянемо систему брусів , на яких функція приймає значення . Функція на цих брусах також приймає значення і, крім цього, ще на деякій системі брусів . Функція на цих брусах також приймає значення на брусах і, крім того, ще на деякій системі брусів . Продовжуючи так дальше, ми отримаємо нескінченну систему брусів без загальних внутрішніх точок. Множина Z міститься в об’єднанні всіх , поскільки в кожній точці по умові . Оцінимо суму об’ємів брусів . Якщо ми обмежуємося брусами , на яких функція приймає значення , то, поскільки , ми будемо мати . Направляючи m до нескінченності, отримаємо

.

Бруси можуть не утворювати покриття множини Z, поскільки точки множин Z не обов’язково є внутрішніми точками брусів . Але якщо кожний брус замінити концентричним і вдвоє більшим по об’єму брусом , то отримаємо уже покриття множини Z брусами , що мають суму об’ємів . Так як довільно мало, то Z є множина міри 0 в розумінні першого визначення, що й потребується.

Відмітимо простий конкретний випадок попереднього правила:

Нехай множина має наступними властивостями: для любого існує ступінчаста функція така, що і на Z. Тоді Z є множиною міри 0.

Дійсно, можна покласти

і умови попереднього критерію буде виконано.