Узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена)
Економетрична модель, якій притаманна гетероскедастичність, є узагальненою моделлю, і для оцінювання її параметрів слід скорис-татися узагальненим методом найменших квадратів. Розглянемо цей метод.
Нехай задано економетричну модель
(7.1)
коли .
Задача полягає в знаходженні оцінок елементів вектора А в моде-лі. Для цього використовується матриця S, за допомогою якої кори-гується вихідна інформація. Ця ідея була покладена в основу методу Ейткена.
Базуючись на особливостях матриць Р і S, які були розглянуті в підрозд. 7.3, можна записати співвідношення між цими матрицями та оберненими до них.
Оскільки S — додатно визначена матриця, то вона може бути зо-бражена як добуток РР', де матриця Р є невиродженою, тобто:
коли
і
Помноживши рівняння (7.1) ліворуч на матрицю Р-1, дістанемо:
(7.5)
Позначимо
Тоді модель матиме вигляд:
(7.6)
Використовуючи (7.3), неважко показати, що
тобто модель (7.6) задовольняє умови (4.2), коли параметри моделі можна оцінити на основі 1МНК.
Звідси
. (7.7)
Ця оцінка є незміщеною лінійною оцінкою вектора А, який має найменшу дисперсію і матрицю коваріацій
(7.8)
Незаміщену оцінку для дисперсії можна дістати так:
(7.9)
Оцінка параметрів , яку знайдено за допомогою (7.7), є оцінкою узагальненого методу найменших квадратів (методу Ейткена).
При заданій матриці S оцінку параметрів моделі можна обчисли-ти згідно із (7.7), а стандартну помилку — згідно із (7.8). Тому мож-на сконструювати звичайні критерії значущості і довірчі інтервали для параметрів .
Визначивши залишки і помноживши ліворуч на матрицю Р-1, дістанемо:
,
або
.
Звідси
.
Тоді .
,
то (7.10)
Отже, ми розбили загальну суму квадратів для (7.6) на суму ква-дратів регресії і залишкову. Згідно з цими даними дисперсійний аналіз буде виконано для перетворених вихідних даних. Крім того, коли незалежна змінна виміряна відносно початку відліку, а не у формі відхилення від середньої, то необхідно визначити її середнє значення і скористатись ним для корекції загальної суми квадратів і суми квадратів регресії.
Модель узагальненого методу найменших квадратів іноді специ-фікується у вигляді
(7.11)
де – відома симетрична додатно визначена матриця. Тоді вираз для оцінки параметрів згідно з методом Ейткена запише-ться так:
, (7.12)
у Приклад 7.6. Використовуючи дані табл.7.3 (див. приклад 7.2), знайдемо оцінки параметрів моделі згідно з методом Ейткена.
Розв'язання
Оператор оцінювання методом Ейткена запишеться так:
Тому для того, щоб знайти оцінку вектора , потрібно обчислити:
добуток матриць:
2) добуток матриць
;
3)матрицю, обернену до матриці ():
;
4) матрицю
5) оцінку параметрів моделі
Економетрична модель витрат на харчування запишеться так:
.
Приведемо економіко-математичний аналіз характеристик економетричної моделі.
1. Коефіцієнті детермінації R2=0,722; Це означає, що на 72,2 % варіація витрат на харчування залежить від загальних витрати.
2. Коефіцієнт кореляції свідчить про досить тіс-ний зв'язок між витратами на харчування та загальними витратами.
3. Залишкова дисперсія показує, що розрахункові,зна-чення витрат на харчування дуже близькі до фактичних.
4. Параметр моделі свідчить про те, що збільшення загальних витрат на одиницю сприятиме граничному зростанню витрат на харчування на 0,014 одиниць.
5. Економетрична модель, параметри якої оцінені методом 1 МНК, має вигляд
а залишкова дисперсія її . Звідси, порівнявши її характе-ристики з моделлю, параметри якої оцінені методом Ейткена, можна стверджувати, що в даному разі оцінки ефективніші.
