Дослідження ММ КО Метод матричної передавальної функції
Визначимо матричну передавальну функцію.
Перетворимо за Лапласом рівняння (2.10) і (2.11) при нульових початкових умовах
Нехай u1(р)=0. Тоді
Нехай u2(р)=0
Отже, матрична передавальна функція об’єкта:
Знаючи матричну передавальну функцію об’єкта, запишемо математичну модель КО у матрично-векторній формі:
(4.1)
Знайдемо закон зміни вихідних величин, застосовуючи зворотнє перетворення Лапласа
(4.2)
(4.3)
Вхідні впливи – ступінчата функція
де – номінальні значення вхідних величин
– величини, значення яких знаходяться в межах 01.
(4.4)
Застосуємо теорему лишків:
(4.5)
Для простих коренів
Знаходимо полюси функції
Підставимо значення коефіцієнтів. Отримаємо:
Отже:
Підставимо чисельні значення коефіцієнтів з врахуванням, що:
Отримаємо усталені значення вихідних величин (при t=):
Тоді закони зміни вихідних величин в часі наступні:
4.2 Метод фундаментальної матриці
4.2.1 Обчислення фундаментальної матриці методом зворотнього перетворення Лапласа
Розв’язок системи рівнянь (2.10) і (2.11) можна знайти за допомогою фундаментальної матриці за формулою
(4.6)
При нульових початкових умовах формула (4.6) набуде вигляду
(4.7)
де – фундаментальна матриця
(4.8)
де – матриця, обернена до матриці
(4.9)
де
(4.10)
знаходимо за теоремою лишків:
(4.11)
Згідно пункту 4.1 полюси функції становлять:
тобто вони дійсні і прості. Тоді формула (4.11) набуде вигляду:
(4.12)
Тоді
Отже фундаментальна матриця має вигляд:
(4.13)
Знаючи , визначаємо і за формулою (4.7)
Знайдемо підінтегральний вираз:
Отже,
Позначимо
Знайдемо інтеграл
(4.14)
Тоді
Отже,
(4.15)
Отже,
(4.16)
Порівнюючи отримані вирази (4.15) і (4.16) з виразами, які отримані в п. 4.1, можна бачити, що вони однакові
4.2.2. Обчислення фундаментальної матриці за
допомогою теореми Келі-Гамільтона
За теоремою Келі-Гамільтона для двох простих полюсів
(4.17)
де – коефіцієнти
Характерний поліном
(4.18)
Корені полінома і визначені в п. 4.1.
Складаємо систему рівнянь
Звідси
(4.21)
(4.22)
Тоді
(4.23)
