Ймовірність квантових переходів. Основне кінетичне

рівняння.

Ймовірність переходу електрона за одиницю часу з поглинанням фонона (ультра- або гіперзвуку) визначається відомою формулою нестаціонарної теорії збурень :

(3.22)

де (3.23)

Враховуючи (3.11) можемо записати:

(3.24)

Аналогічно для ймовірності квантового переходу електрона з випромінюванням фонона отримаємо:

, (3.25)

. (3.26)

Основне кінетичне рівняння [1] визначає зменшення числа фононів як різниця між числом поглинутих і випромінених фононів електронами:

, (3.27)

де вже враховано закон збереження квазіімпульсу електрон-фононної системи і дві можливі проекції спіна електрона;

(3.38)

- рівноважна функція розподілу електронів у дроті. Оскільки число звукових фононів , то рівняння (3.27) набуде більш простого вигляду:

(3.29)

Коефіцієнт поглинання ультразвуку

За означенням коефіцієнт поглинання ультразвуку дорівнює:

(3. 30)

звідки з урахуванням (3.29) маємо:

(3. 31)

1. Розглянемо спочатку наближений випадок, коли

Тоді

(3.32)

і коефіцієнт поглинання

(3.33)

тут ми зробили перехід від сумування до інтегрування, тобто вважаємо, що кх набуває неперервних значень:

(3.34)

Нехтуючи величиною отримаємо:

(3.35)

Враховуючи відому властивість дельта –функції [13]:

(3.36)

можемо легко про інтегрувати (3.35), в результаті чого маємо:

(3.37)

Для виродженого електронного газу, який описується статистикою Фермі-Дірака у випадку одномірного поступального руху

, (3.38)

де , - стала Больцмана, Т- абсолютна температура, - хімічний потенціал одновимірного електронного газу дроту.

- енергія вільної частинки.

Легко бачити, що

(3.39)

Знайдемо (3.28) з отриманого раніше значення для з (3.26)

(3.40)

Підставляючи ці результати у вираз для коефіцієнта загасання ультразвуку , отримаємо:

(3.41)

Отже, в кінцевому підсумку коефіцієнт загасання ультразвуку:

(3.42)

де: - лінійна густина маси дротини, [ r ] =г/см

(3.43)

Розглянемо важливий частинний випадок, коли звукова хвиля поширюється вздовж осі х дротини.

тоді

(3.44)

Оскільки

При низьких температурах

(3.45)

Тобто в границі низьких температур загасання звуку електронами вздовж довжини квантової дротини (осі х) буде експоненціально малим, на відміну від випадку тривимірних систем, де воно є значним і відіграє основну роль. Отже, квантовий дріт може в принципі бути низькотемпературним звукопроводом. Слід зауважити також, що з (3.42) випливає осциляційна залежність коефіцієнта загасання a від товщини квантового дроту d (в напрямку осі z) і зменшення a за гауссівським законом від осциляторного поперечного розміру yo.

2. Загальний випадок

Розглянемо тепер більш загальний випадок, коли не можна вважати, що

і не виконується розклад z (3.32).

(3.46)

Введено нову величину, яка виражається через частоту звуку:

(3.47)

причому

(3.48)

Позначимо вираз, що не залежить від х-вих складових вектора :

(3.49)

В результаті після інтегрування в (3.46), маємо:

(3.50)

Tаким чином, коефіцієнт згасання:

(3.51)

(3.51a)

Для випадку, коли звукова хвиля поширюється вздовж осі х дроту

і коефіцієнт загасання виявляється рівним:

(3.52)

або (3.52a)

де (3.53)

Додаток

Д1. Енергія Фермі одновимірного електронного газу.

Умова нормування для функції розподілу Фермі-Дірака:

(Д 1.1)

де - повне число електронів.

Перейдемо до інтегрування:

(Д 1.2)

де (Д 1.3)

(Д 1.4)

Метод визначення даного інтеграла наведено в [8].

Розглянемо інтеграл:

(Д 1.5)

де (Д 1.6)

(Д 1.7)

; (Д 1.8)

введемо нову змінну:

. (Д 1.9)

Тоді інтеграл можна представити у виді:

(Д 1.10)

Розкладемо функцію в ряд Тейлора по степенях :

. (Д 1.11)

при (випадок низьких температур):

; (Д 1.12)

(Д 1.13)

Проведемо заміну змінних:

. (Д 1.14)

(Д 1.15)

У нових змінних інтеграл має такий вигляд:

. (Д 1.16)

З математичної фізики та теорії спеціальних функцій відомо, що інтеграл виду

є бета-функцією Ейлера.

Позначимо оператор диференціювання , тоді

, (Д 1.18)

. (Д 1.19)

.

За означенням бета-функція визначається через гамма-функції:

Розкладемо отриманий результат в ряд:

Підставимо у вираз для І(у)

,

Підставимо отримані результати в умову нормування:

введемо нову величину, що визначається так:

,

тоді