Тут припускається постійність часу електронної релаксації. Отже, ми маємо

(). (2.27)

Цей результат рівний за порядком величини добутку (2.22) на . В цій же моделі електропровідність рівна

(2.28)

І тому ~. Це підтверджується експериментально [7].

Поздовжні фонони в металах. Трактування на основі рівняння переносу

Рівняння Больцмана дозволяє з єдиної точки зору розглянути поставлену вище задачу для будь-яких значень . При відсутності магнітних полів у наближенні, в якому припускається існування тільки одного часу релаксації, рівняння переносу має вигляд

(2.29)

Припустимо, що розсіювання електронів відбувається на домішках. Тоді є зміст вважати функцією рівноважного розподілу електронів в локальній системі координат, яка переміщується разом з локальною граткою. Ця суттєва обставина була детально розглянута Холстейном [7].

Якщо - швидкість локальної ґратки, то

(2.30)

енергія Фермі є зміненою фононами, оскільки локальна концентрація електронів змінюється за рахунок розтягів, які супроводжують поширення повздовжніх фононів. Електрони провідності намагаються екранувати флуктуації густини додатних іонів. Це означає, що електронна густина буде точно слідувати за розтягами ґратки. Запишемо концентрацію електронів у виді

.

Тоді

, (2.31)

де , ~.

Отже, покладаючи , отримаємо замість (2.29)

, (2.32)

звідки

. (2.33)

Далі, для густини електричного струму маємо

. (2.34)

Вектор дифузії можна визначити з даної формули, враховуючи вираз для співвідношенням

, (2.35)

а для компоненти тензора провідності отримаємо

. (2.36)

Вираз (2.34) є рівнянням збереження неперервності середовища.

Якщо , то, припустивши, що , можна взяти інтеграл (2.36) і отримати

, (2.37)

. (2.38)

При відсутності статичного магнітного поля недіагональні компоненти рівні нулю. В границі діагональні компоненти прямують до . Незникаюча компонента - це z-компонента, яка рівна

, (2.39)

і тому

. (2.40)

Електричне поле з'являється в результаті невеликої декомпенсації локального заряду. Можна записати

, (2.41)

де - повна густина струму, яка складається з двох частин-густини електричного струму і густини іонного струму (-е). Густина електричного струму задовільняє рівняння неперервності

=0; (2.42)

Рівняння Максвела, яке пов'язує , має вигляд

або

, (2.43)

і тому

. (2.44)

Для вивчення загасання поперечних фононів потрібне рівняння, яке пов'язує . Цей зв'язок можна знайти, комбінуючи рівняння Максвела для та припускаючи є=.

В результаті отримаємо

(2.45)

де - швидкість звуку, с – швидкість світла.

Потужність, яка поглинається в одиниці об’єму, запишемо у вигляді

. (2.46)

Перший член у фігурних дужках описує омічні втрати електронів. Другий член описує потужність, яка передається електронами гратці в силу того, що електрони до розсіювання мають середню швидкість , а зразу після розсіювання - швидкість . Цей член досить суттєвий при високих частотах або при сильних магнітних полях.

Із рівняння неперервності для випадку поздовжніх хвиль маємо

, (2.47)

звідки, якщо опустити індекси z і j, Е і u випливає (2.40). Дійсно

. (2.48)

Цей результат повинен узгоджуватись з рівнянням Максвелла (2.44). Виключаючи Е і використовуючи (2.44) для випадків і , отримаємо

. (2.49)

В цьому граничному випадку повний струм j можна наближено вважати зникаюче малим. Величину електричного поля Е можна визначити, підставляючи (2.49) в (2.48) і отримаємо

. (2.50)

Якщо в цьому наближенні знехтувати членом, що характеризує зіткнення, то для величини розсіючої потужності ( на одиницю об'єму) отримаємо

, (2.51)

звідки, використовуючи означення для і рахуючи дійсною величиною (1 ), знаходимо

. (2.52)

Коефіцієнт загасання рівний (за означенням) розсіюючій потужності (на одиницю об'єму), віднесеної до одиниці потоку енергії, тобто

, (2.53)

де р - звичайна густина

Отже, для поздовжніх хвиль отримаємо результат Піппарда для а , а саме

. (2.54)

Загасання поперечних хвиль в металах.

Для поперечних хвиль локальна швидкість решітки перпендикулярна до хвильового вектора фонона. Нехай вектор швидкості напрямлений вздовж осі х, а вектор - вздовж осі z. Для поперечних хвиль флуктуації густини відсутні. Густина струму вздовж осі х

(2.55)

повинна задовільняти рівняння Максвела у виді (див. (2.45)):

. (2.56)

Виключивши Е, отримаємо

, (2.57)

де член дуже малий. Тоді величина практично рівна , де - довжина акустичної хвилі, а - товщина класичного скін-шару. В межах частот, нижче мікрохвильових, звичайно , і тому

(2.58)

і

, (2.59)

звідки

(2.60)

Отже, із (2.38) при «1 (граничний випадок) отримаємо для коефіцієнта загасання хвиль зсуву

, (2.61)

де . (2.62)

Вплив магнітного поля на процеси затухання

Багато важливих робіт по поглинанню ультразвуку в системах було присвячено дослідженню поверхні Фермі з використанням ефектів періодичності в магнітному полі в умовах, коли можна вважати, що >>1 і >>1. Теорія загасання в цьому випадку може бути побудована шляхом

очевидного, але дещо трудоємкого узагальнення, описаного вище. Цікавими працями є праці Коена, де взята за основу модель вільних електронів, праця Піппарда і В.Гуревича , де задача розглядається для загального випадку поверхні Фермі. Ультразвукові дослідження можна проводити при частотах, відносно низьких порівняно з тими, що потрібні в експериментах педагогічного циклотронному резонансу.

В більшості випадків вивчаються ефекти резонансного поглинання , які можна назвати геометричними резонансами, оскільки в цих випадках діаметр

Низькотемпературне поглинання ультра- і гіперзвуку в металічному квантовому дроті.

3.1. Модель квантового дроту.

Розглянемо теоретично поглинання ультразвуку досить високих частот у квантових дротинах, коли середня довжина вільного пробігу електрона є значно більшою за довжину акустичної хвилі , тобто . Цей випадок вимагає квантового розгляду загасання звуку, як процесу, пов'язаного з поглинанням і народження електроном фононів - квантів ультра- і гіперзвукової хвилі.

В досліджуваній моделі квантового дроту покладаємо, що оператор Гамільтона для окремого електрона має вигляд:

(3.1)

де d- товщина дротини, паралельної осі х, - константа осциляційного потенціалу з частотою вздовж осі у; - ефективні маси електрона у відповідних напрямках,