Матричний елемент електрон-фононної взаємодії у квантовому дроті.

Гамільтоніан взаємодії електрона з' акустичним фононом ультразвуку частоти і хвильовим вектором визначається для одновимірного дроту виразом:

(3.2)

де ,

де - енергія Фермі; s - швидкість звуку; М - маса дротини; - оператор знищення фонона; - оператор народження фонона; - середня довжина вільного пробігу електрона.

Повний оператор Гамільтона системи "електрон+фонон" дорівнює:

, (3.3)

де - вважаємо збуренням.

Хвильова функція, незалежна від часу, для електрона квантового дроту у незбуреній задачі є розв'язком стаціонарного рівняння Шредінгера:

(3.4)

де

(3.5)

- хвильова функція гармонічного осцилятора в основному стані з енергією ,

, , (3.6)

Енергія системи запишеться в цьому випадку наступним чином:

, (3.7)

Для хвильової функції - невзаємодіючих електрона дроту і фонона ультразвуку маємо рівняння

, (3.8)

, (3.9)

- хвильова функція фонона з числом заповнення фононної моди. При взаємодії електрона з фононом ультразвуку вважатимемо, що змінюється тільки стан неперервного спектра електрона при поглинанні або випромінюванні фонона: . Матричний елемент оператора збурення при поглинанні фонона

, (3.10)

де

(3.11)

(3.12)

При підстановці в (3.11) виразу для хвильової функції (3.5) отримаємо

(3.13)

Легко побачити, що

(3.14)

є символом Кронекера. Інтеграл

(3.15)

, (3.16)

де використовується, що n=1,2,3, ... (обчислення інтегралів (3.15) і (3.16) дивіться у Д. 3).

(3.17)

Аналогічно обчислюється матричний елемент при випромінюванні фонона

, (3.18)

. (3.19)

(3.20)

(3.21)