Якщо C – максимальна центральна система то:

а) х1 ^ х2^ ...^хn С, для довільних х1, х2...хn С;

б) із х С i y x (у Х) випливає, що у С;

Дійсно, якщо С – довільно центральна система, то приєднавши до неї всі елементи виду х1 ^ х2^ ...^хn, де х1,...,хn С, ми знову отримаємо максимальну систему. Аналогічно, якщо С – довільно центральна система, елемент х С, то приєднавши до С всі елементи у х, отримаємо центральну систему. Властивість б) повинна виконуватись в кожній максимальні центральні системі;

в) якщо х С, то існує u С, що х ^ u= 0.

Дійсно в супротивному випадку приєднавши х до C отримаємо центральну систему яка містить С, що суперечить максимальності останньої системи.

Лема. Кожна центральна система, міститься в максимальній центральній системі.

Доведення

Нехай – множина всіх центральних систем елементів булевої алгебри Х і впорядкована за включенням. Якщо Д = {C}i – підмножина з , виявляється лагцюгом, то можна побачити, що сокупність C0 = U C – виявляється центральною системою і C0 верхня межа підмножини Д в частково впорядкованій множині .

Дійсно нехай х1... хn С0, тоді xi C (j = 1,…,n). Але серед центральних систем C є найбільша, позначимо її С, де xi C, а тому х1 ^...^хn>0. Таким чином в кожний ланцюг має верхню межу і до можна застосувати теорему Цорна.

Теорема Цорна

Якщо в частково впорядкованій множині Х кожна її підмножина Е, є ланцюгом і має верхню межу, то для будь-якого х0 Х існує такий максимальний елемент х Х, що х х0. Оскільки максимальними елементами в і будуть максимальні центральні системи, то дана лема безпосередньо виплиає з теореми Цорна.

Наслідок. Для будь-якого х 0(х є Х) існує максимальна центральна система, яка містить х.

Дійсно, сокупність, яка складається з одного елемента х – центральна система і до неї можна застосувати попередню лему.

Позначимо через Q множину всіх максимальних центральних систем елементів булевої алгебри Х і кожному х Х співставимо множину Ех Q всіх максимальних центральних систем, що містить х. Очевидно, що E0 =, E1 = Q. Сокупність всіх множин Ех позначимо через і впорядкуємо за виключенням.

Лема. Булева алгебра Х ізоморфна сокупності , впорядкованій за включенням. При цьому:

Eх v у = Ех ? Еу а

Eх ^ у = Ех ? Еу б

Eх = Ех \ Еу в

З даної Леми випливає, що – теж булава алгебра і – кільце.

Доведення

Перевіримо взаємно однозначну відповідність хЕ. Нехай х у (х, у є Х) і z = х ^ у. Тоді z < х або z < у для визначеності вважаємо z < x. Оскільки за теоремою 2.1. z – найбільший елемент диз’юнкний з z`, то u = x ^ z` > 0. Існує максимальна центральна система С, яка містить u. Тоді і х є С , але уdu оскільки y ^ u = y ^ x ^ z` = z ^ z` = 0, а тому у С. Цим самим ми доведемо С Ех, С Еу, Ех Еу.

Доведемо формулу а

Нехай z = х v у. Якщо система С є Q така, що х є С, то і z є С. Отже Еx Еz. В протилежному випадку, нехай z є С (С є Q), представимо, що хе С. Тоді існує u є С, що x ^ u = 0. Аналогічно, якщо одночасно yє С, то у ^=0 для всякого є С. Покладемо =u ^ . Тоді х ^ = у = 0, є С і z ^ = =(х v у) ^ = (х ^ ) v (у ^ ) = 0, що суперечить включенню z1 є С. Отже, або х або у є С, Еz є Ех ? Еу .

Формула в встановлюється так: якщо х С, то х е С і тому Ех ? Ех = . Оскільки х v х = 1, то за формулою а Ех ? Ех = Q , звідси випливає в.

Формулу одержуємо з а при переході до доповнення:

Ех^у= Q\Е(х^у) = Q\Ех v у = Q\(Ех ? Еу ) = (Q\Ех ) ? (Q\Еу ) = Ех ? Еу.

Лему доведено.

Теорема Стоуна

Кожна булава алгебра Х ізоморфна за включенням сокупності всіх відкрито – замкнених множин деякого цілком незв’язного бікомпакта Q.

Доведення

Побудовану вище множину Q всіх максимальних центральних систем елементів із Х перетворимо в бікомпонент, ввівши в нього топологію, при якій множини Ех тільки вони є відкрито – замкненими. Для цього вважаємо в відкритою кожну множину Ех є . Частково, кожна Ех є відкрита, тоді оскільки доповнення Q\ Ех = Ех теж відкрите, то Ех є - відкрито – замкнена.

В Q виконується всі аксіоми типологічного простору. Дійсно, очевидно, що сума довільної множини відкритих множин теж є відкритою множиною. Порожня множина і вся Q відкриті, оскільки вони належать до б. Покажемо, що перетин двох відкритих множин є відкритою множинною.

Нехай , (х, у є Х). Тоді і G1 ? G2 – відкритий за означенням.

Перевіримо чи виконується в Q аксіоми відокремленості Хаусдорфа.

Нехай С1, С2 є Q і С1 С2. Це означає, що існує х є Х, який належить тільки одній з