Таким чином, точки С1 і С2 відокремлені в Q відкрито – замкненими множинами Ех і Ех . Накінець перевіримо чи Q - бікомпакт. Нехай дана дентральна система, яка складається з множин Ех ( є А). Оскільки для довільних 1,..., n є А, ЕХ^...^Х = ЕХ1?…?ЕХn , то х1^...^хn > 0, тоді елементи х теж утворюють центральну систему. Тоді в Х існує центральна С, яка містить усі х. Цією системою є С є ЕХ при всіх є А, а тому ? ЕХ .

Якщо дана центральна система складається з довільних замкнених множин F c Q, то представити кожну F у вигляді перетину деяких множин і бази б, ми бачимо, що останні утворюють в сокупності центральну систему з тим перетином, що й . За доведеним вище даний перетин не порожній. Таким чином, Q – бікомпонент. З означення топології в Q випливає, що бікомпонент Q – цілком не зв’язний.

Потрібно довести, що довільна відкрито – замкнена множина H c Q співподає з однією із множин кільця . Оскільки Н - відкрита, Н= , але Н і замкнена тоді внаслідок бікомпактнтості Q з сокупності множин Еx множина виділити їх скінченне число так, що Н=Ех?...?Ех. Звідси за формулою а Н = Ехv ... vх, Н є .

Теорему доведено

Означення. Бікомпакт Q називається екстримально незв’язним, якщо замикання кожної відкритої множини із Q - відкрито – замкнена.

Теорема. Для того, щоб булава алгебра всіх відкрито- - замкнених множин цілком не зв’язного бікомпакта Q була повною( – повною) необхідноі достатньо щоб бікомпакт Q був екстримально не зв’язним.

Доведення.

а) необхідність

Нехай б повна. Обиремо відкриту множину G c Q. Оскільки бікомпакт Q цілком не зв’язний , то G = ( Е є ). Внаслідок повноти алгебри існує найменша множина Е є , яка містить всі Е. При цьому замикання [G] Е. Якщо припустити , що Н=Е\[G] , оскільки Н відкрита , то існує така не порожня Е є , що Е Н. Тоді G c E\E` і Е – не найменша відкрито – замкнена множина, яка містить всі Е таким чином [G]=E є .

Нехай - повна, а G Q – відкрита множина вигляду F, G = , де Е є і одночасно G =, де Fn - замкнені. Тоді з сокупності множин Е можна виділити остаточне покриття кожного з Fn, і цим самим представимо G у вигляді суми скінченої множини відкрито – замкнених множин: G = , де Еn є . Подальші результати такі самі, як попередні;

б) достатність

Нехай бікомпакт Q екстремальна незв’язна, а Е є ( є і). Покладемо G = . Тоді множина G відкрита і за умовою E = [G] є . Якщо Е є - довільна множина із , яка містить G, то [G] E`. З того, що [G] найменша відкрито- замкнена множина, яка містить G випливає, що вона містить всі Е. Булава алгебра б – повна.

Якщо бікомпакт Q – тільки квазіекстримально незв’язний, то зберігаються такі самі роздуми для скінченої сокупності множин Еn є і отримаємо - повну булаву алгебру .

Теорема доведена.

4. Булеві алгебри скінченого типу.

Означення. Булева алгебра називається алгеброю скінченого типу, якщо кожна її підмножина попарно диз’юнктивних елементів , відмінних від 0, не більш ніж скінченна. Прикладом булевої алгебри скінченого типу може служити база К – простору s.

Означення К – простором називається повна лінійна решітка .

Означення. Лінійною решіткою називається лінійна система Х, яка одночасно є решіткою в якій виконуються наступні властивості:

а) якщо х > y, то x + z > y + z, для довільного z є Х;

б) якщо х > y, то х >y для довільного числа >0.

Теорема Якщо - повна булева алгебра – скінченого типу, то вона повна і в довільні нескінченні множинні Е для її елементів існує така скінченна або зчисленна підмножина Е`c Е, що sup Е` = sup Е, inf Е`= inf Е.

Доведення

Достатньо довести дану теорему для частини, яка стосується верхньої межі.

Нехай Е довільна нескінченна множина з . Позначимо через М множину всіх скінчених або зчислених підмножин N , яка володіє наступними властивостями:

а) елементи множини N попарно диз’юнкні і відмінні від 0;

б) якщо є N, то існує 1 є Е, що 1.

Множина М - не порожня; наприклад, кожна одноелементна множина () , де є Е і > 0 , належить до М. Будемо вважати М – впорядкованою за включенням. Перевіримо, чи М задовольняє умови теореми Цорна.

Теорема Цорна.

Якщо в частково впорядкованій множині Х кожна її підмножина Е, є ланцюгом і має верхню межу, то для будь-якого х0 є Х, існує такий максимальний елемент х є Х , що х х0. Дійсно, якщо М` М1 М`={Nz} (z є А) і М` ланцюг, то покладемо N`= . Так як для довільних 1, 2 є N` знайдеться такий індекс z, при при якому 1, 2 є Nz, то N` складається з попарно диз’юктивних елементів і тому не більш ніж скінченна. При цьому ясно, що N` є М.

За теоремою Цорна М існує хоча б одна максимальна множина