Наслідок Якщо булава алгебра відкрито - замкнутих множин екстремального бікомпакта Q – скінченого типу, то кожна замкнена ніде не щільна множина F Q занурюється в замкнену ніде не щільну множину Ф типу Gб.

Доведення

Із аксіом відокремленості і екстремальності бікомпакта Q, випливає , що множина F відокремлена від довільної точки, яка не належить F , відкрито-замкненими околами. Тому перетин усіх відкрито – замкнених множин, які містять F, співпадає з F і має місце представлення F= , де E – відкрито-замкнені.

Нехай (t) - характеристична функція множини Е; є С (Q) при всіх є і. Оскільки множина F ніде не щільна, то inf = 0.

Теорема

Кожне майже регулярне розширення K-простору Х регулярне. За даною теоремою існує така скінченна підмножина індексів n , що inf = 0. Тоді Ф = замкнена і ніде не щільна. Дійсно, якщо б Ф не була ніде не щільна, то вона містила не порожню відкрито-замкнену множину і ми отримали , що inf > 0. Крім того ,F Ф, а Ф – типу Gб.

Множину Ф – представимо, як перетин послідовності відкрито – замкнених множин. Можна показати, що на екстремальному бікомпакті довільну замкнену множину F типу G представлено в вигляді перетину послідовності відкрито-замкнених множин.

Дійсно, нехай F =, де Gn - відкриті. Оскільки Q нормальний топологічний простір, то при кожному n існує така відкрита множина Гn , що Е Гn [Гn] Gn. Тоді F = і при цьому множина [Гn] – відкрито-замкнена.

5 Адитивні функції на булеві алгебрі

Розглянемо функції у = (), задані на довільні булеві алгебрі , з значенням в K – просторі У. Функції такого вигляду будемо використовувати в даному параграфі для інтегрального представлення лінійних операторів

Означення

Функція (l) називається:

адитивною, якщо (1 v 2) = (1) + (2) при 1 2;

додатною, якщо ( 0 для всіх є б;

обмеженою, якщо sup | ()| < +.

Із адитивності, очевидно, випливає що (0) = 0, якщо ( адитивна і додатня то вона ізотонна (1) (2) при 1 > 2 і обмежена (0 () ()).

Побудуємо над алгеброю, як над базою архівидів К - лініал Х обмежених елементів.

За теоремою Стоуна алгебра ізоморфна сокупності всіх відкрито-замкнутих множин деякого цілком не зв’язного бікомпакта Q. Розглянемо підмножину Х К- лініала С (Q), яка складається з всіх скінченно значних неперервних функцій. Суть функцій з Х полягає в тому, що ними є все можливі скінченні лінійні комбінації характеристичні функції відкрито замкнених множин бікомпакта Q. При природній впорядкованості і звичайному визначенні алгебраїчних операцій Х – К – лініала, можна побачити, що він архімедів. Будемо вважати за одиницю Х функцію х(t)=1. Тоді база (Х) співпадає сокупністю характеристичних функцій всіх відкрито замкнених множин бікомпакта Q. При цьому вона буде ізоморфною булеві алгебрі цих множин, а отже і заданою булавою алгеброю . Крім того всі елементи в Х будуть обмежені. Кожний елемент х є Х є скінченною лінійною комбінацією елементів алгебри : х =, де j бо ми ототожнили елементи бази (Х) з відповідними її елементами алгебри . Будемо розглядати Х, як КN – лініал обмежених елементів, тоді якщо х = , де j – попарно дез’юнкні і j > 0, то || x || =max(j).

Якщо на задана адитивна функція (l), то її можна розширити в вигляді адитивного оператора на ввесь Х. Для х = , покладемо U= = 1.

Оскільки () адитивна то значення Ux не залежить від способу представлення елемента х у вигляді лінійної комбінації елементів бази. Звідси й випливає адитивність оператора U.

Якщо () додатня функція, то й оператор U додатній.

Теорема Для того щоб адитивна функція (l) була обмеженою, необхідно і достатньо, щоб вона була представлена у вигляді різниці двох додатніх адитивних функцій.

Доведення

а) необхідність.

Нехай у0 = sup|()| < +. Покажемо, що оператор U визначений за формулою , регулярний.

Кожен елемент х 0 з Х можна представити: х =, де всі j 0, елементи j попарно диз’юктні і j > 0. при цьому можна вважати, що 1 2 ... n. Тоді

x = , 2

а Ux =

Звідси |Ux| 3

Якщо Е Х обмежені в сокупності і норми ||x|| для всіх Х С, тоді з формули 3 випливає обмеженість оператора U(Е). Отже оператор U регулярний.

Представимо U у вигляді різниці додатніх адитивних операторів:U = U1-U2. Покладемо 1() = U1, 2() = U2, для довільного є б. 1() і 2() додатні адитивні функції на б () = 1() - 2().

б) достатність.

Якщо () = 1() - 2(), де 1() і 2() – додатні адитивні функції, то |()| 1() + 2() 1() + 2() і обмеженість ( доведена.

Покажемо, що якщо () обмежена, то найменші додатні адитивні функції, у вигляді різниці