Кожна Гп має вигляд , де , при , а . Виходячи з даного представлення множини Г, можна отримати нове представлення у вигляді суми попарно неперетинних основних проміжків, Г=, кожний міститься в одному з . Тоді . Оскільки Гп с Гпр довільну п, то справедлива обернина нерівність . Ми довели 2.

Звідси частково випливає, що при визначенні міри основної множини за формулою можна відмовитися від вимоги, щоб проміжки попарно не претинались.

Розглянемо множину ВR і назвемо її доповненням до деякої основної множини Г:В=R\Г. Можливий випадок, коли деякі доповнення множини В виявиться одночасно і основним . В цьому випадку .

Дійсно, оскільки ВГ=, то , а оскільки , то . Звідси й випливає, що .

Поширимо означення міри на всі доповнення множини В, покладаючи за означенням . Якщо, то .

Дамо означення внутрішньої та зовнішньої міри. Визначимо зовнішню міру довільної множини за формулою , де нижня грань обчислюэться за всіма основними множинами Г, які містять А.

Зовнішня міра монотонна, якщо , то . Для основних множин Г маємо . Покажемо, що те саме вірне для доповнення В. Доведення потрібно провести тільки для випадку , коли В – доповнення до множини , яка складається з нескінченного числа проміжків, оскільки в протилежному випадку В сама виявиться основною.

Покладемо , де Гр основна множина. Тоді . Але ВГр, тому при довільному р. З іншого боку , звідси , отже .

Якщо взяти довільну множину , то і тому . Тоді і за теоремою 2 б) ( з першого параграфу): , звідси . Внаслідок того, що обирали довільно випливає, що , цим самим рівність доведена.

Покажемо, що якщо довільна множина , то .

Позначимо через Гн довільну основну множину, яка містить , і покладемо . Тоді А с Г. Обернено у всяку основну множину Г, яка місить А, представимо , де оскільки можна покласти всі . За допомогою нескінченного дистрибутивного закону маємо .

Внутрішня міра для довільної множини визначається формулою , де верхня грань обчислюється за всіма доповненнями множин В, які містяться в А.

Монотонність внутрішньої міри очевидна . Для довільного . Дійсно, між доповненими множинами, які містяться в А і основними множинами які містяться в R\А, існує взаємно однозначна відповідність. Тому .

Для основних множин і множин з доповненнями внутрішня міра співпадає з мірою. Дійсно для множин з доповненнями це випливає з визначення внутрішньої міри, а для основних множин Г за формулою і за визначенням міри доповненних множин .

Для довільної АR .

Дійсно, якщо В Ас Г, де В доповнена множина, якщо В А Г, де В – доповнена множина, а Г основна множина, то , звідси випливає нерівність .

Якщо , то . Це випливає з формули , за допомогою переходу до доповнення множин Ап.

Множина А R називається вимірною, якщо . Спільне значення і назвемо просто мірою множин А і позначимо . З монотонності зовнішньої міри випливає монотонність міри вимірних множин.

Теорема

а) якщо А вимірна, то і R\А вимірна і .

б) якщо і всі вимірні, то і А вимірна і при цьому .

в) якщо і всі Ап вимірні, то А вимірна і при цьому .

Доведення

а) за формулою , , , тому .

б) за формулою , , а за монотонністю внутрішньої міри . Разом з формулою , це і дає вимірність А і рівність .

в) вимірність перетину доведена в б), перейдемо до доповнення, а рівність міститься в формулі .

Властивість міри, сформованої в пункті б) назвемо скінченою адитивністю. Це пояснюється тим, що якщо алгебру переставити як базу деякого К – простору то формула у випадку, коли всі Ап попарно неперетинні може бути записано у вигляді .

7 Умови скінченої адитивності булевої міри

Будемо говорити, що булава міра побудована в попередньому параграфі, скінченно адитивна якщо умова б) з теореми 6.1: б) якщо і всі Аn вимірні, то і А вимірна і при цьому . Справедлива для цієї міри і в тому випадку, коли А є сумою скінченої множини вимірних множин. Іншими словами, булева міра скінченно адитивна, якщо із того, що множина Аn (n = 1,2,…,) вимірна, а , випливає вимірність множини А і рівність .

Вкажемо достатню умову для скінченої адитивності булевої алгебри. Будемо вважати, що на алгебрі існує достатня множина цілком неперервних адитивних функцій, якщо для кожного 0 > 0 із існує така додатня, цілком неперервна, адитивна функція () з частинними символами значеннями, що (0) > 0.

Якщо на алгебрі існує додатня множина вказаних функцій, то для всіх 1, 2 є таких, що 1>2, існує додатня, цілком неперервна, адитивна функція (), для якої (1) > (2). Дійсно 2 = 1 v (2^1`) причому 1(2^1`) і 2^1` > 0. Отже існує функція вказаного класу, для якої (2^1`) > 0 і (2) = = (1) + (2^1`) > (1).

Теорема. Якщо на алгебрі існує достатня множина цілком неперервних адитивних функцій, то булева міра з значенням в скінченно адитивна.

Доведення

Зауважимо, що для довільної множини А R сокупність всіх основних множин Г А, а разом з нею сокупність