Електронне загасання ультразвуку в металічному квантовому дроті

Зміст

Вступ

Роділ 1. Електрон-фононна взаємодія.

Основні ефекти електрон-фононної взаємодії.

Взаємодія носіїв заряду з акустичними фононами. Метод потенціалу деформації.

Нестаціонарна теорія збурень.

Роділ 2. Електронне загасання ультразвуку в твердих тілах.

2.1 Напівпровідники. Поглинання та випромінювання електроном фонона.

2.2 Акустичне загасання в металах. Поздовжні фонони в газі вільних електронів.

2.3 Поздовжні фонони в металах. Трактування на основі рівняння переносу.

2.4 Загасання поперечних хвиль в металах.

РОЗДІЛ 1

ЕЛЕКТРОН - ФОНОННА ВЗАЄМОДІЯ

1.1 Основні ефекти електрон – фононної взаємодії.

Електрони провідності різними шляхами відчувають будь – яке порушення у ідеальній періодичній гратці додатніх іонних остовів. На електрони провідності впливають навіть нульові коливання гратки. Результатом зв'язку між електронами і фононами є ряд ефектів [1-3, 5, 7-9, 16].

а) розсіювання електронів на фононах, яке приводить до переходу з одного стану в інший (). Цей процес лежить в основі електричного опору [3]

б) взаємодія електронів з фононами викликає поглинання чи випромінювання фононів. Цей процес є основною причиною загасання ультразвукових хвиль у металах [5, 7, 9, 16]

в) ця взаємодія приводить до притягання двох електронів, що грає суттєву роль у явищі надпровідності і обумовлена віртуальним поглинанням і випусканням фононів [6]

г) з електронами, в силу їх взаємодії з фононами,завжди повязане деякеполе поляризації гратки. Складену квазічастинку "електрон+фононне поле" називають поляроном. Ефективна маса полярона більша за ефективну масу електрона у незбуреній гратці [7].

1.2 Взаємодія носіїв заряду з акустичними фононами.

Метод потенціалу деформації.

За означенням оператор описує зміни енергії носія заряду при зміщенні атомів гратки з положень рівноваги. Обчислення цієї енергії є складною задачею – хоча би тому, що атоми мають скінченні розміри і при зміщенні можуть деформуватись[1, 7]. Для визначення цієї деформації і пов'язаної з нею зміни силового поля потрібно розв'язувати динамічну задачу багатьох тіл.

Все спрощується, якщо розглядати типову задачу про розсіяння. Головну роль при розсіянні носіїв заряду відіграють фонони з порівняно малими квазіхвильовими векторами: довжини хвиль їх є такими ж, як і у електронів (у невиродженій системі – порядку ). Прийнявши це до уваги, ми можемо, не розв'язуючи вказану вище задачу динаміки, написати явний вираз для оператора , який містить лише невелике число параметрів, які визначаються експериментально.

Розглянемо спочатку одноатомний кристал ( r=1 ).

Оператор повинен бути скаляром, а також відмінним від нуля лише, якщо атоми гратки зміщені з положень рівноваги.Це означає , що оператор перетворюється в нуль разом з вектором зміщення. Розглядаючи випадок малих коливань, ми можемо обмежитись лінійною залежністю від векторів зміщень чи від їх похідних. Потрібно врахувати, що при зсуві чи повороті всього кристалу як цілого енергія електронів не змінюється. Такому зсуву відповідає зміщення атомів гратки строго в одній фазі. Оператор при вказаних умовах повинен перетворюватись у нуль. У одноатомних кристалах можливі тільки акустичні коливання гратки. Цьому синфазному русі атомів відповідає нескінченно велика довжина хвилі. Звідси випливає, що оператор повинен виражатись не через сам вектор зміщення, а через похідні його по координатах – при зсуві кристала як цілого ці похідні перетворюються в нуль. Інакше кажучи важливим є не зміщення атомів, а деформація гратки, яка при цьому виникає.

Якщо цікавитись тільки довгохвильовими фононами, то ми можемо обмежитись першими похідними по координатах [5].

Оператор є скаляром , який лінійно залежить від перших похідних вектора зміщення по координатах. Найпростіший вираз такого типу має вигляд:

, (1.1)

Де E1 – деяка стла. Її можна обчислити, розв'язуючи задачу механіки про зміну енергії електрона при плавній періодичній деформації гратки (з періодом хвилі). Але простіше розглядати E1 як параметр теорії, який визначається з досліду (подібно до ефективної маси чи ширини забороненої зони). Значення E1 для електронів провідності і для дірок, взагалі кажучи різні. Відповідно ми маємо не один, а два параметра E1с і E1ф які відносяться відповідно до зони провідності і валентної зони.

Вираз (1.1) називаєтьтся потенціалом деформації, а параметр E1 – константою потенціалу деформації. Формула такого ж типу описує і зміну енергії носія заряду при однорідній статичній деформації, яка виникає, наприклад, пристиску чи розтягу кристала. Але параметри, які входять в останній вираз, взагалі кажучи, не співпадають з E1с E1v. Дійсно, довжина акустичної хвилі, хоч і велика в порівнянні зі сталою гратки, але все ж скінченна, тобто деформація, яка утворюється акустичною хвилею, завжди неоднорідна.

Відомо, що

(1.2)

де М - маса елементарної комірки, G - число елементарних комірок, bqs і b+qs - оператори знищення і народження фононів.

Підставимо цей вираз для вектора зміщення при >0 в (1.1).При цьому величина ж виявляється дійсною. Таким чином,

(1.3)

В розглядуваному випадку довгих акустичних хвиль має зміст розділення коливань на поперечні та поздовжні. З формули (1.3) випливає, що в межах прийнятих припущень тільки поздовжні хвилі (s=1) дають внесок в зміну енергії електрона: при ж(,s) відповідні доданки в (1.3) перетворюються в нуль. Отже,

(1.4)

Тут прийнято до уваги, що для поздовжніх хвиль (з індексом s=1)

Величина , яка фігурує у правій частині (1.1), має простий геометричний зміст. З механіки суцільних середовищ відомо, що при малих деформаціях

(1.5)

Тут V0 – деякий об'єм в недеформованому кристалі (в якості V0 можна вибрати, наприклад, об'єм елементарної комірки); ДV – його зміна при деформації, яка описується вектором . Таким чином, є відносна зміна об'єму при малій деформації.

Рівність (1.5) дозволяє грубо оцінити порядок величини константи E1. Дійсно, виміри енергії