Методична розробка
“Вивчення показникових рівнянь, нерівностей і систем рівнянь в 11 класі”
(Інтегровний курс математики в гуманітарному
класі з 3-годинним тижневим навантаженням)
У процесі вивчення матеріалу учні систематично систематизовують знання, та засвоюють поняття показникової функції, її властивості і графік; навички й уміння виконувати тотожні перетворення виразів з показниковою функцією; розв’язувати показникові рівняння і нерівності та системи рівнянь; здійснювати обчислення числових виразів за допомогою МК.
Учні повинні навчитися схематично зображати графіки показникових функцій, пам’ятати основні властивості функцій, та вміти використовувати їх при розв’язуванні показникових рівнянь, нерівностей, та їх систем.
Планування
Показникова функція. Властивості. Графік.
1 година (лекція)
Розв’язування показникових рівнянь, нерівностей.
2 години (лекція)
Семінарське заняття.
2 години (практ.)
Контрольна робота.
1 година (практ.)
Урок № 1.
(лекція)
Тема: Показникова функція. Властивості. Графік.
Мета: Засвоєння учнями поняття показникової функції, її властивостей і графіка.
Хід уроку.
Актуалізація опорних знань учнів.
Повторення основних формул, вивчених у попередніх класах.
а) аm · an = am+n
б) аm : an = am–n, (а?0)
в) (аm-)-n = amn
г) (ab)n = an · bn
д) (а/b)n = an/bn, (b?0)
е) а1 = а
є) а0 = 1, (а?0)
ж) якщо а > 1, am > an > (m > n)
якщо 0 < а < 1, то am < an.
2) Дати означення функції і пояснити основні способи її задання.
3) Що таке область визначення функції?
4) Яку функцію називають зростаючою (спадною), в області її визначення?
5) Що називають графіком функції?
2. Подача нового матеріалу.
Зафіксуємо додатнє число a і поставимо у відповідність кожному числу m/n (n?0), число аm/n.
Внаслідок цього дістанемо числову функцію f(x) = ax, яка визначена на множині Q раціональних чисел і має вище згадані властивості.
Якщо а = 1, функція f(x) = ax стала, то 1х = 1 для всіх х з множини Q.
Позначимо кілька точок графіка функції y = 2х. Графік показникової функції будуватимемо за допомогою точок, а встановлені властивості використаємо для коригування й контролю правильності побудови.
Складаємо за допомогою МК таблицю значень функції з кроком значень аргументу 0,5.
х– | 3 | -2,5– | 2 | -1,5– | 1 | -0,5 | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3
2х | 0,125 | 0,177 | 0,25 | 0,354 | 0,5 | 0,707 | 1 | 1,414 | 2 | 2,828 | 4 | 5,657 | 8
Позначимо точки з відповідними координатами на площині і сполучимо їх плавною кривою, яка і є графіком функції.
2х
4
3
2
1
0 1 х
Аналогічно будуємо графіки показникових функцій при інших значеннях параметра а > 0.
а=1/2 а а = 3
а = 1,5
1 а = 1
0 х
Зробимо висновки
1) про поведінку графіка функції у = ах при зменшенні значення параметра до 1, а потім від 1 до (0; 2);
2) про те, що графіком функції ах і а–х = (1/а)х є симетричні відносно осі ординат;
3) усі графіки показникових функцій лежать у верхній півплощині і проходять через точку (0; 1);
4) кожний з графіків показникової функції з одного боку як завгодно близько підходять до осі абсцис, але не перетинають її.
ВЛАСТИВОСТІ ПОКАЗНИКОВОЇ ФУНКЦІЇ.
Означення. Функція, задана формулою у = ах (а > 0, а ? 1), називається показниковою функцією за основою а.
F(x) = ax.
Область визначення – множина R
(D(f) = (-?; +?).
2.Область значення – множина R+
(E(f) = (0; +?).
Графік функції лежить у верхній координатній півплощині.
3. Якщо а>1, функція , на всій числовій прямій. Якщо 0<а<1, функція на R.
4.Графіки функцій ах і а-х симетричні відносно ОУ.
Графіки функцій, при а>0 проходять через точку (0;1).
При будь-яких дійсних значеннях х і у виконуються рівності:
ах·ау=ах+у
ах:ау=ах/ау=ах-у
(ав)х=ахвх
а х ах–
= –––
в вх
(ах)у=аху
3.Підсумок уроку.
Повторили основні відомості про функції, властивості степенів із дійсними показниками.
Засвоїли поняття показникової функції, її властивості і графіки при різних допустимих значеннях основи.
4. Домашнє завдання.
Для учнів із різним рівнем підготовки (А,Б)
Перелічити властивості функції і побудувати властивості функції і побудувати її графік:
а) у = 4х; б) у = 0,2х
в) у = 0,7х; г) у = 2,5х; А
д) 3х = 4-х е) (1/2)х = х + 3;
є) (1/3)х = х+1; ж) 4х +1 = 6 – х;
з)3-х = -3/х Б
Урок № 2,3
(лекція)
Тема: Розв’язування показникових рівнянь та нерівностей.
Мета: Формування у учнів навичок і вмінь розв’язувати найпростіші показникові рівняння й нерівності і такі, що безпосередньо зводяться до них.
Хід уроку
Перевірка домашнього завдання.
Актуалізація опорних знань учнів.
Математичний диктант 5 хв.
Сформулювати основні правила дій над степенями з однаковими основами.
При якій умові степені зображають одне і те саме число?
Записати у вигляді степеня добутки:
ах•вх; 22х •2х
4) Подати числа 5 і 0,2; 25 і 1/5; 16/9 і 27/64 у вигляді степенів з однаковими основами.
Подача нового матеріалу.
Показниковими називаються рівняння і нерівності, у яких змінна міститься в показнику степеня.
Показникові рівняння, які ми розв’язуватимемо, зводяться до найпростіших рівнянь, що мають вигляд ах = ат, де а>0, а ? 1 (якщо а = 1, то рівняння має безліч розв’язків). Із змісту степеня з дійсним показником та рівності степенів з однаковими основами випливає рівність їх показників:
х = т.
Розглянемо приклади розв’язування показникових рівнянь, що безпосередньо зводяться до найпростішого вигляду:
ах = в (1)
а > 0, а ? 1
Е(у) – R+, у = а х
Тому у вигляді в < 0, або в = 0 рівняння (1) немає розв’язків.
Нехай в > 0, рівняння ах =