Метод найменших квадратів для визначення параметрів рівняння регресії

На підставі головної властивості рівняння регресії (4.3) з урахуванням (4.1) можемо побудувати функцію двох змінних – поки що невідомих параметрів рівняння регресії  і індекс 1 опущено): 

.                                        (4.11)

Мінімум функції  знайдемо з умов, де її часткові похідні дорівнюють нулю:                                             

.12)

Функція  є квадратичною відносно кожного з параметрів  і ,  та  уважаємо фіксованими. Виконаємо диференціювання:

;

.

У матричному вигляді матимемо:                                         

.13)

або 

;                                                       (4.14) 

.                                        .15)

Щоб побудувати матрицю і праву частину системи (4.13), послідовно (стовпці 1-4) заповнюють таблицю, що містить необхідні комбінації степенів пар вхідних даних табл. 4.1). Нижній рядок цієї таблиці – це суми відповідних стовпців, з яких і формуємо систему (4.13). Після розв’язування цієї системи матричним методом (4.14) можна протабулювати рівняння регресії (4.1) і, нарешті, знайти суму квадратів відхилень експериментальних даних від прогнозованих, що лежать на лінії регресії (стовпці 6-7). Зазначимо, що сумарні значення стовпців 2 і 6 однакові (тобто рівняння регресії зберігає середнє значення залежної величини), а сума стовпця 7 буде найменшою серед усіх прямих (кажуть: у класі лінійних функцій вигляду (4.1)).

Таблиця 4.1

Схема обчислень за методом найменших квадратів 

X | Y | XX | XY | Y(X) | (Y-Y(X))^2

... | ... | ... | ... | ... | ...