Метод математичного моделювання.

Аналітичні методи.

6. Теорія масового обслуговування.

Метод математичного моделювання.

В теорії масового обслуговування розглядаються задачі планування і управління робіт по задоволенню потоку вимог, що виникають випадково та вимагають різного, зараннє точно непередбаченого часу для їх задоволення. Хоча кожна індивідуальна вимога в системі масового обслуговування виникає випадково, потоки таких вимог задовольняють тим чи іншим закономірностям статистичного характеру.

Існує два основних методи:

1. Метод математичного моделювання.

Аналітичні методи.

Суть методу математичного моделювання полягає в тому, що спеціальна комп’ютерна програма повторює крок за кроком всі дії системи масового обслуговування, що розглядається: визначає випадковим чином у відповідності із заданим законом розподілу моменти появи вимог та тривалість їх обробки, у відповідності із заданою дисципліною обслуговування проводить постановку в чергу. При цьому спеціальна частина програми весь час підраховує деякі величини (довжину черги, простої обслуговуючих приладів і т.д.) і будує експериментальні криві розподілу ймовірностей (частот) – гістограми. По гістограмам обчислюються середні значення, дисперсія, середнє квадратичне відхилення та інші характеристики експериментальних розподілів.

Наприклад, нехай було зроблено сто обчислень довжини черги. Відкладаючи по горизонталі різні значення довжини, а по вертикалі частоту, тобто кількість разів, на протязі яких довжина черги приймала задані значення, отримаємо деяку гістограму.

0 1 2 3 4 5 Довжина черги

Із гістограми видно, що довжина черги, що дорівнює нулю, зустрічалась 10 разів, а довжина черги, рівна трьом – 25 разів, що відповідає експериментальним імовірностям

Р0 = = .1 та Р3 = = .25. Середнє значення довжини черги n0 = 0P0 + 1P1 +2P2 + 3P3 + 4P4 + 5P5 = 0 + .2 +.6 +.75 + .4 +.25 = 2.2. Найбільш ймовірна довжина черги дорівнює, очевидно, 2. Дисперсія d = (i – n0)2 Pi = 2.22 .1 + 1.22..2 + .22..3 + .82..25 + 1.82..1 + 2.82..05= 1.307.А середнє квадратичне відхилення = d = 1.14.

Теорія масового обслуговування. Аналітичні методи.

Аналітичні методи дозволяють представити характеристики, що нас цікавлять, у вигляді функцій від вихідних характеристик. Розглянемо приклад аналітичного розрахунку однієї із простіших систем масового обслуговування. Нехай потік вхідних вимог є стаціонарним пуасонівським з інтенсивністю . Довжина обслуговування задана показовим законом: РТ В = е-В. Дисципліна обслуговування передбачає наявність черги, що обробляється у порядку надходження вимог. Шукані величини: довжина черги n і коефіцієнт корисної дії , тобто середній відносний час, на протязі якого система зайнята обслуговуванням. Переходячи до розв’язку задачі, треба відмітити, що стан системи можна характеризувати лише одним числовим показником – довжиною черги n. Замітимо далі, що, якщо система на протязі часу t була зайнята обробкою деякої вимоги, то імовірність закінчення обробки у проміжку t0, t0 + t є умовна імовірність. Для показового розподілу е-t величина у чисельнику дорівнює еt0t, а у знаменнику - еt0. Таким чином, імовірність закінчення вже початого обслуговування у довільний безкінечно малий проміжок часу дорівнює t та не залежить від часу початку обслуговування. Позначимо через pi(t) імовірність того, що система у момент часу t знаходиться у і-ому стані (і=-1,0,1,2,...). Для того, щоби система в момент часу t + t опинилася у стані –1, є дві можливості. Перша полягає в тому, що система була у стані (-1) в момент t і у проміжку часу від t до t+ t не прийняла жодної нової вимоги. Імовірність такої можливості р-1(t) (1 - t. Друга можливість полягає в тому, що у момент часу t система знаходилася у стані 0, а за наступний відрізок часу t закінчилося обслуговування вимоги, що оброблялась, та не надійшло нової вимоги. Імовірність такої можливості р0 (t)t(1 -t) р0 (t)t. Об’єднавши обидві ці можливості, отримаємо співвідношення: p-1(t + t) = p-1(t)(1- t) + p0(t) . Переходячи до границі при t 0, отримаємо диференційне рівняння:=p0(t)– p-1(t). (1) Для стану і -1 розглянемо три випадки:

В момент часу t стан системи був і–1, а за час t прийшла нова вимога та не закінчилася обробка старої. Імовірність такої можливості pi-1(t) t(1 - t) pi-1(t) t.

В момент часу t система знаходилася у стані і+1, за час t закінчилася обробка старої вимоги і не прийшла нова вимога. Імовірність pi-1(t) t(1 - t) pi+1(t) t.

В момент часу t система знаходилася у стані і, a за час t не закінчилася обробка старої вимоги і не прийшла нова вимога. Імовірність pi(t)(1 - t)(1 - t) ) pi(t) - ( +)pi(t) t.

Об’єднавши три випадки, отримаємо диференційне рівняння:

= pі-1(t) – ( +) pi(t)+ рі+1(t) (2). Користуючись якістю ергодичності системи будемо шукати лише усталений розв’язок, для котрого, як не важко зрозуміти, рі = const і похідні (i=-1,0,1,2,…) повинні обертатися в нуль. В результаті маємо систему звичайних алгебраїчних рівнянь: p0 - p-1 = 0; pi -1 - ( + )pI + pi+1 = 0 (i=0,1,2,…)......(3). Ця система дозволяє по p-1 знайти p0, по цим двом величинам – р1, по величинам р0 і р1 – величину р2 і т.д. Якщо позначити через r величину , то розв’язок системи (3) запишеться у вигляді: рі = rі+1 р-1 (і = 0,1,2,...). Для визначення значення р-1 скористуємось тим очевидним міркуванням, що сума імовірностей всіх станів

рі = р-1 rі+1 = р-1 повинна дорівнювати 1. Звідси р-1 = 1 – r; (4)