рі = rі+1 (1 – r). (5) При виведенні співвідношень (4) – (5) припускають, що r=1. Цей результат легко зрозуміти, якщо згадати, що є середня тривалість обслуговування, а - середня величина інтервалів часу між моментами надходження чергових вимог. За r 1 перша величина більше другої, і, як легко зрозуміти, система не буде справлятися з обробкою вимог, що поступають, черга буде необмежено зростати, і прагнення до якогось усталеного стану не буде мати місця. Величина 1 – р-1 = r є шуканий коефіцієнт корисної дії системи: = r = . Імовірність того, що довжина черги буде менше k, дорівнює:
ri+1(1 – r) = (1 – r) = rk.. Так, при =.9 ймовірність того, що в черзі знаходиться не менше п’яти вимог, .95 = .59. Середня довжина черги у геометричному розподілі і r i+1 (1 – r) = при r=.9 призводить до значення l=.9. Таким чином, прагнення до максимального завантаження обслуговуючих приладів неминуче веде до росту черги. При розрахунку систем масового обслуговування необхідно знаходить розумний компроміс між цими суперечливими тенденціями. Необхідність пошуку такого компромісу – одна з особливостей систем з випадковими потоками вимог, що відрізняються від регулярних систем, що ми вже розглянули раніше, де у принципі може бути досягнути який завгодно високий к.к.д. використання наявних ресурсів.
Методи екстраполяції
Розв’язок задачі екстраполяції зводиться до знаходження залежності X=f(t), що з достатнім рівнем точності описує поведінку змінної X у минулому і разом з тим визначена також і для деякого інтервалу часу в майбутньому. На практиці по ряду міркувань дають перевагу пошуку розв’язку у вигляді полінома можливо більш малої степені. Однією із простіших форм представлення вказаного полінома є наступна формула:
Дійсно, при t = t1 перший член суми обернеться в X1, в той час як решта буде дорівнювати нулю, при t = t2 другий член буде рівним X2, а всі інші нулю і т.д. Поліном, що задається цією формулою, називається звичайно інтерполяційним поліномом Лагранжа. Поліноміальна екстраполяція є достатньо зручною, однак ніщо не заважає використовувати для екстраполяції функції будь-якого другого виду. Так, якщо відомо, що функція, що екстраполюється, являється періодичною з періодом Т, то екстраполяцію легше всього виконати за допомогою відрізка ряду Фур’є:
f(t) = a0 + a1cos pt + b1 sin pt + …+ an cos npt + bn sin npt, де p=. Невідомі коефіцієнти aі і bі можуть бути визначеними з рівнянь, що отримуються за допомогою підстановок t =tj; f(tj) = Xj для всіх заданих точок. На принципі наближеного проведення екстраполяційної кривої оснований один з найбільш вживаних на практиці методів екстраполяції – так званий метод найменших квадратів. Зміст цього методу полягає в наступному. Перш за все будується клас екстраполюючих функцій f(t,a1,a2,…,am), що залежать від параметрів a1,a2,…,am. Вибір значень цих параметрів, що задають екстраполюючу функцію, що вимагається, виконується із умови мінімальної суми квадратів різниць значень функцій f і X при заданих значеннях t=t1,t2,…,tn. Вказана сума має вигляд: S =[f(t1, a1,…,am) – X(t1)]2 +[f(t2, a1,…,am) – X(t2)]2+…+[f(tn, a1,…,am) – X(tn)]2.
Пошук значень параметрів a1, a2,…,am, що обертають величину S в мінімум, виконується любим із способів знаходження екстремумів. Метод найменших квадратів зручний тим, що дозволяє застосовувати аналітичні прийоми знаходження мінімуму. При використанні чисельних методів можна застосовувати і інші міри відхилення екстраполюючої кривої від заданих точок, наприклад, суму абсолютних величин різниць f(t,a1, a2,…,am) - Xi. Центральним питанням для отримання гарної екстраполяції є правильний вибір виду екстраполюючої функції f(t,a1,a2,…,am). Метод найменших квадратів і інші аналогічні методи наближеної екстраполяції дають гарні результати лише тоді, коли випадкова завада має порівняно невелику величину. Зміст екстраполяції детермінованого процесу полягає у здогадуванні закономірності, котра має місце для всієї ділянки процесу, що вивчається. У випадкових процесах зустрічаємося з протилежним явищем, оскільки пошук такої закономірності суперечить самій їх сутності. Правда, якість неперервності випадкового процесу приводить до того, що його значення в близьких одна до одної точках взаємозалежні.
Методи статистичного контролю
10. Які основні статистичні характеристики вибірок
Вихідним матеріалом при розв’язку задач математичної статистики являється послідовність незалежних спостережень випадкової величини. Задача статистики виникає, якщо загальна функція розподілу величини xi невідома. Статистичний контроль представляє собою метод контролю якості виробів у випадку, коли з тих чи інших причин такий контроль не може бути застосованим до кожного виробу, та про якість всіх виробів необхідно судити, контролюючи лише деяку їх частину. Сукупність всіх виробів називається генеральною сукупністю, а частина, що підлягає контролю, - вибірковою сукупністю або просто вибіркою. Припустимо, що об’єктом контролю є деяка неперервна величина x . У результаті вимірів величини x для вибіркової сукупності отримаємо ряд значень цієї величини x1,x2,…,xn. xЮ=. Окрім вибіркової середньої обчислюється також вибіркова дисперсія у2, що дорівнює квадрату середньої квадратичної похибки у, у2 = (xi – xЮ )2. Вибіркова дисперсія являє собою наближення дисперсії генеральної сукупності. Вона дозволяє також оцінити дисперсію у2xЮ і середнє квадратичне відхилення уxЮ вибіркової середньої від генеральної середньої. Для так званої безповторної вибірки при числі елементів генеральної сукупності, що дорівнює N, використовується формула уxЮ =. (1) При малій величині відношення використовується наближена формула уxЮ . (2) Безповторна вибірка виконується наступним чином. Із генеральної сукупності випадковим чином вибирається перший виріб, далі із множини, що залишилася, також випадковим чином – друге і