т.д. Другий тип вибірки (що називається повторною) отримується, якщо після вибірки та вимірювання чергового виробу його знову повертають у генеральну сукупність, зберігаючи таким чином за ним шанс бути вибраним повторно. Для повторної вибірки уxЮ = . (3) Формули (1) – (3) дозволяють оцінити степінь достовірності визначення генеральної середньої xЮ. При достатньо великих вибірках імовірність PД того, що вибіркова середня буде відрізнятися менше, ніж на Д (Д>0), визначається по формулі: P=. (4) Вираз, що стоїть у правій частині формули (4), що являється функцією від , прийнято позначати Ф().
Великий інтерес з точки зору контролю якості представляє оцінка похибки параметра х для генеральної сукупності за результатами вибірки. Нехай значення параметра х є 1. Тоді для наведеної вище вибірки похибки дорівнюють: д1 = .01; д2 = .02; д3 = .02;
д4 = 0; д5 = .01; д6 = .03;д7 = .02; д8 = .01; д9 = .02; д10 = .02.
Вибіркове середнє похибки уЮ = дi = .016. Вибіркова дисперсія похибки
уЮ2д = (.0062+ .0042 + .0042 + .0162 + .0062 + .0142 + .0042 + .0062 + .0042 + .0042) =
=10-7(36 + 16 + 16 +256 + 36 + 195 + 16 + 36 + 16 +16) = 64.10-4.
Вибіркове середнє квадратичне відхилення уЮд =.008. Середнє квадратичне відхилення вибіркової середньої уд= = .003.
При Д = 4.78 уд =.013 на підставі наведеного вище табличного значення РД= .999. Таким чином, із ймовірністю не менше, ніж .999 можна стверджувати, що середня похибка в генеральній сукупності не перевищує дЮ + Д =.016 + .013 = .029.
Для розв’язку задачі треба оцінити величину у2 зверху. Якщо немає ніякої іншої оцінки, то із формули (5) легко видно, що максимум у2 = .25 при r =.5. В ряді випадків на практиці цю оцінку можна покращити. Припустимо, наприклад, що доля браку r не може перевищити .1. Тоді із формули (5) маємо у 2 0.1 . 0.9 =.09 та у .3.
При без повторній вибірці n елементів із N середнє квадратичне відхилення ус долі браку у виборці від долі браку в генеральні сукупності знайдемо по формулі (1)
ус = . Оскільки вибірка повинна бути, очевидно, великою, для оцінки імовірності Р можна скористатися формулою (4). По таблиці значень Ф(х) знаходимо, що для РД = .99, Д = 2.6. ус. Але задано Д .01. Звідси отримаємо: 2.6 .01,
6.76.10 4 2. Якщо вважати .3, то нерівність буде виконаною, коли
6.76.104..09 ? 6.103. Тоді n(1 + ) 6000 + 1. Одиницею у правій частині можна нехтувати, так що остаточно маємо N . При N=1000 n?860, тобто іншими словами, вибірка повинна практично охоплювати всю генеральну сукупність. Однак, як показує отримана формула, при дуже великих n, наприклад N = 600 000, для досягнення точності оцінки, що вимагається, виявляється достатньою вибірка 6000 елементів, що може складати скільки завгодно малу долю генеральної сукупності.
При проведенні вибірок для статистичного контролю надзвичайно важливим є дотримування умови випадковості вибірки. Справа в тому, що будь-яка регулярність вибірки, наприклад, вибірка кожного десятого виробу, що сходить зі станка, може співпадати з тим чи іншим виробничим ритмом та викривити результат. Так може статися, наприклад, якщо кожний десятий виріб випускається на початку зміни або після заміни ріжучого інструменту і т.п.
Для досягнення повної випадковості вибірки можуть вживатися спеціальні датчики випадкових чисел. У простішому випадку такий датчик генерує випадкову послідовність нулів та одиниць, в якій одиниці зустрічаються із заданою (регульованою у випадку необхідності) частотою. Зміна показань датчика управляється потоком виробів. Якщо в момент проходу якогось виробу мимо датчика його показання дорівнювало одиниці, виріб іде на контроль, при нульовому показу датчика виріб у вибірку не потрапляє й не контролюється. Інший метод – використання спеціальних таблиць випадкових чисел. Якщо, наприклад, є таблиця 4-значних випадкових чисел, і необхідно створити випадкову вибірку, скажемо 60 виробів із 10 000, то достатньо відібрати вироби, порядкові номера яких будуть співпадати з першими 60 числами таблиці. У ряді випадків генеральна сукупність істотно ділиться на частини: із загального числа N виробів N1 виробів випущено на першому станку, N2 – на другому і т.д. Тоді середні xЮi та дисперсії уЮ2i беруться по вибіркам із кожної частини, а загальна середня xЮ і дисперсія середньої уЮ2 знаходяться по формулам: xЮ = уЮ2 =.