Рис. 3.22          

Розглянемо деяку точку  і пряму  і обчислимо:, . Вияснимо, при яких  рівність  збігається з (3.42).           

Звільнившись від ірраціональності, після спрощення, одержимо . Тоді . Враховуючи все це, приходимо до висновку, що співпадання з рівнянням (3.42) відбудеться при  тобто а це означає, що .

Виходячи з цього, маємо таке означення параболи: параболою називається множина точок, рівновіддалених від даної точки, яка називається фокусом, і даної прямої, що називається директрисою.           

З описаного випливає, що парабола має лише одну директрису , що фокус параболи знаходиться в точці і що її ексцентриситет .

Всі три криві (еліпс, гіпербола і парабола) визначають множину точок площини, відношення яких від даної точки (фокуса) до віддалі від даної точки до даної прямої (директриси) є величина стала .           

3.6.4. Рівняння еліпса, гіперболи і параболи в полярних

координатах           

Нехай - один із фокусів еліпса або гіперболи, або фокус параболи, - дуга однієї з вказаних кривих (рис. 3.23).  Із рисунка маємо            

З останньої рівності маємо                                                             

.43)

Рівняння (3.43) описує одну з кривих (еліпс, гіперболу або параболу) залежно від того, яким є :

якщо  то рівняння описує еліпс;

якщо , то рівняння описує гіперболу;

якщо  , то рівняння описує параболу.

Універсальність полягає в тому, що одним і тим самим рівнянням описуються всі криві (еліпс, гіпербола і парабола). Рівнянням (3.43) користуються в механіці та астрономії при вивчені руху планет.

Вказані три криві мають спільне походження: всі вони є певними перерізами двопорожнинного конуса. Цей факт чудово ілюструється рис.3.24 і вказує на джерело універсальності трьох розглянутих кривих.                                             

Рис. 3.23                                      Рис. 3.24