скінчене. Кожному класу еквівалентності поставимо у відповідність позначення, відмінне від позначень інших класів. Тепер вимірювання буде полягати в тому, що, виконуючи експеримент над об’єктом, визначити приналежність результату до того чи іншого класу еквівалентності та записати це за допомогою символу, котрий позначає даний клас. Таке вимірювання називається вимірюванням в шкалі найменувань (іноді цю шкалу називають також номінальною або класифікаційною); вказана множина символів і утворює шкалу.
Істотно використовувати шкалу найменувань у тих випадках, коли класифікуються дискретні за своєю природою явища (наприклад, різні об’єкти). Для позначення класів можуть бути використаними як слова природної мови (наприклад, географічні назви, власні імена людей і т. д.), довільні символи (герби та прапори держав, емблеми родів війська і т. д.), номера (реєстраційні номера авто, офіційних документів, номера на майках спортсменів), так і їх різні комбінації (наприклад, поштові адреси, екслібриси власних бібліотек та інше). Всі ці позначення еквівалентні простій нумерації (всі ми маємо ідентифікаційний код).
Оскільки позначення, що присвоюється класам, в принципі довільне (хоча після присвоєння і однозначне), цю свободу у виборі можна використати для зручності. Так, при великому та/або нефіксованому числі класів їх конкретизація спрощується та полегшується, якщо позначення вводяться ієрархічно. Прикладом можуть служити поштові адреси (країна, область, місто) – населений пункт – вулиця – будинок – квартира.
Необхідність класифікації виникає і у тих випадках, коли стани, що класифікуються, створюють неперервну множину. Задача зводиться до попередньої, якщо всю множину розбити на скінчене число підмножин, штучно створюючи тим самим класи еквівалентності. Тепер приналежність стану до де якогось класу знову можна реєструвати в шкалі найменувань. Однак умовність введення класів (не їх шкальних позначень, а самих класів) рано чи пізно проявиться на практиці. Наприклад, виникають труднощі точного перекладу з однієї мови на іншу при описі кольорових відтінків: в англійській мові голубий, лазуровий та синій кольори не відрізняються; не виключено, що англійці інакше бачать світ (наприклад, в одному англійському тлумачному словнику слово “синій” пояснюється як “колір чистого неба, деревного диму, знятого молока, свинцю”, а у другому – як “колір неба або моря, а також речей набагато блідніших або темніших, як дим, віддалені пагорби, місячне світло, синяк”).
Назви хвороб також створюють шкалу найменувань. Психіатр, ставлячи хворому діагноз “шизофренія”, “параноя”, “маніакальна депресія” або “психоневроз”, використовує номінальну шкалу; і все ж іноді лікарі не дарма згадують, що “треба лікувати хворого, а не хворобу”: назва хвороби лише позначає клас, всередині котрого насправді існують відмінності, тому що еквівалентність всередині класу носить умовний характер. Треба твердо пам’ятати, що позначення класів – це тільки символи, навіть якщо для цього використані номера. Номера лише зовні виглядають як числа, насправді вони числами не являються. Якщо у одного спортсмена на формі № 4, а у другого – 8, то ніяких інших висновків, окрім того, що це різні учасники змагань, робити не можна: так, не можна сказати, що другий “вдвічі кращий”. З номерами не можна поводитися як з числами, виключно визначення їх рівності або нерівності.: тільки ці відношення визначені між елементами номінальної шкали.
Тому при обробленні експериментальних даних, зафіксованих в номінальній шкалі, безпосередньо із самими даними можна виконувати тільки операцію перевірки їх спів падіння або не спів падіння. Зобразимо цю операцію за допомогою символу Кронекера: дij = {1: xi = xj; 0: xi ? xj}, де xi та xj – записи різних вимірів.
З результатами цієї операції можна виконувати більш складні перетворення: рахувати кількість збігів (наприклад, число спостережень k–го класу дорівнює nk = , n– загальне число спостережень), обчислювати відносні частоти класів (наприклад, частота k–го класу є pk = nk/n), порівнювати ці частоти між собою (знаходячи, наприклад моду – номер найбільш зустрічаємого класу kmax = arg pk), виконувати різні статистичні процедури, суворо слідкуючи, однак, щоби в цих процедурах з вихідними даними не виконувалося нічого, окрім операції перевірки їх на спів падання (наприклад, можна використати ч2–тест, інші тести на відносні частоти, коефіцієнт погодженості і т.д.).
Порядкові шкали
У тих випадках, коли спостережувана (вимірювана) ознака стану має природу, що не тільки дозволяє ототожнювати стани із одним із класів еквівалентності, але й дає можливість у деякому відношенні порівнювати різні класи, то для вимірювань можна вибрати більш сильну шкалу, ніж номінальна. Якщо ж не скористатися цим, то ми відмовимося від частки корисної інформації. Однак посилення вимірювальної шкали залежить від того, які саме відношення між класами існують в дійсності.
Наступною по силі за номінальною шкалою являється порядкова шкала (використовується також назва рангова шкала). Цей клас шкал з’являється, якщо окрім аксіом тотожності 10 – 30 класи задовольняють наступним аксіомам впорядкованості:
40. Якщо А > B, то B < A.
50. Якщо А > B, та B > C, то A > C.
Позначивши такі класи символами та встановивши між цими символами між відношення порядку, отримаємо шкалу простого порядку. Прикладами застосування такої шкали являються нумерація в черзі, військові звання, призові місця в конкурсі.
Іноді виявляється, що не кожну пару класів можна впорядкувати по перевазі: деякі пари вважаються рівними. У такому випадку аксіоми 40 та 50 видозмінюються:
4’ Або А ? B, або А ? B.
5’ Якщо А ? B та B ? C, то A ? C.
Шкала, що відповідає аксіомам 40 та 50 називається шкалою слабого порядку. Прикладом такої шкали слабкого порядку служить упорядкування