Бальні шкали оцінки знань учнів. Слухаючи відповіді учнів або порівнюючи їх письмові роботи, досвідчений викладач може знайти різницю між ними і встановити, чиї відповіді краще; це типове відношення порядку.

Потреба суспільства в офіційному визначенні степені кваліфікованості навчающихся незалежно від того, де, коли та як вони отримують освіту, сприяла введенню загальноприйнятих шкал для оцінювання знань учнів у вигляді балів (такі шкали введені всюди). Всі відчувають, в тому числі і на власному досвіді, неточність, наближеність цієї шкали. Одна із спроб “покращити” шкалу балів полягає у збільшенні числа градацій. В школах прийнята 5-бальна, у вузах – 2-бальна (для заліків) і 4-бальна (для іспитів) система оцінок, у деяких європейських країнах 0 10-бальна, а в англомовних країнах – 100-бальна система. Це не рятує положення, і викладачі неофіційно (“для себе”) вводять додаткові градації – приєднують до балів плюси, мінуси, точки. Все це відбувається тому, що не існує ні абсолютного стандарту, подібно до еталонів твердості або висоти хвиль, і знання можуть оцінюватися лише в порядковій шкалі. Тим не менше мало хто (не тільки учні, а й викладачі) розуміють, що бальна шкала належить до класу порядкових. Справа доходить до того, що навіть в офіційних випадках, що впливають на долі людей, враховують середньоарифметичний бал – величину, що не має смислу в порядковій шкалі! Деякий відтінок об’єктивності та кількісності бальній шкалі намагаються придати директивним визначенням того, яким вимогам потрібен задовольняти учень, щоби мати право на той чи інший бал, тобто ввести незалежні стандарти. Однак викладачі неминуче по-різному розуміють і виконують інструкції, і оцінки все рівно стають відносними: відомо, що рівень знань відмінників різних шкіл або вузів помітно різняться. Саме тому у відповідальних випадках влаштовують не конкурси документів, а конкурси самих претендентів, тобто вертаються до порядкового вимірювання, безпосереднього порівняння володарів знання.

Шкали інтервалів

Якщо впорядкування об’єктів можна виконати настільки точно, що відомі відстані між довільними двома з них, то вимір виявиться самітно сильнішим, ніж у шкалі порядку. Істотно виражати всі відстані в одиницях, хоча й довільних, проте однакових по всі довжині шкали. Це означає, що об’єктивно рівні інтервали вимірюються однаковими по довжині відрізками шкали, де б вони не розміщалися. Наслідком такої рівномірності шкал цього класу являється незалежність відношення двох інтервалів від того, в котрій із цих шкал ці інтервали виміряні (тобто яка одиниця довжини інтервалу та яке значення прийняте за початок підрахунку). Дійсно, якщо два інтервали в одній шкалі виражаються числами ?1х та ?2х, а при іншому виборі нуля і одиниці ?1у та ?2у , то, оскільки це об’єктивно ті ж самі інтервали, маємо ?1х/?2х = ?1у/?2у, звідки випливає, що введені шкали можуть мати довільні початок підрахунку та одиниці довжини, а зв’язок між показаннями в таких шкалах є лінійною: у = ах + b, a > 0, -? < b < ?. Це співвідношення можна виразити словами: ”шкала інтервалів єдина з точністю до лінійних перетворень” Побудовані таким чином шкали називаються.

Прикладами величин, котрі по фізичній природі або не мають абсолютного нуля, або допускають свободу вибору в установленні початку розрахунку і тому вимірюються в інтервальних шкалах, являються температура, час, висота місцевості.

Початок літочислення у християн установлене від Різдва Христова, а у мусульман – на 622 роки пізніше – від переїзду Мухамеда в Медину; одиниці літочислення прив’язані до відносних переміщень Сонця і Місяця, проте в астрономії існує цілих шість різних визначень року. Висоту прийнято рахувати від рівня моря, але це призвело до того, що більша частина території Голландії має ... від’ємну висоту, бо розташована нижче рівня моря.

Назва “шкала інтервалів” підкреслює, що в цій шкалі тільки інтервали мають смисл справжніх чисел і тільки над інтервалами слід виконувати арифметичні операції: якщо виконати арифметичні операції над самими підрахунками по шкалі, забувши про їх відносність, та є ризик отримати безглузді результати. Наприклад, якщо сказати, що температура води підвищилася у двічі при її нагріві від 9 до 180 по шкалі Цельсія, то для тих, хто користується шкалою Фаренгейта, це буде звучати досить дивно, тому що в цій шкалі температура води у тому ж досліді зміниться від 37 до 420.

Подібно до того як визначення значення символу Кронекера є єдиною допустимою операцією в номінальній шкалі, а обчислення рангу спостереження – в порядковій шкалі, в інтервальній шкалі єдиною новою допустимою операцією над спостереженнями є визначення інтервалу між ними. Над інтервалами ж можна виконувати довільні арифметичні операції, а разом з ними – використовувати підходящі способи статистичної або іншого оброблення даних.

Шкали відношень

Нехай величини, що спостерігаються, задовольняють не тільки аксіомам 40 та 50, але й аксіомам адитивності:

60 Якщо A = P та B > 0, то A + B > P.

70 A + B = B + A.

80 Якщо A = P та B = Q, то A + B = P + Q.

90 (A + B) + C = A + (B + C).

Це суттєве підсилення шкали: виміри в такій шкалі являється “повноправними” числами, з ними можна виконувати довільні арифметичні операції, так як віднімання, множення та ділення – лише часткові випадки додавання. Введена таким чином шкала називається шкалою відношень. Цей клас шкал володіє наступною особливістю: відношення двох значень вимірюваної величини