Прикладами величин, природа котрих відповідає шкалі відношень, являються довжина, вага, електричний опір, гроші.

Шкали різниць

До числа шкал, єдиних з точністю до лінійних перетворень, відноситься шкала інтервалів (у = ах + b, a > 0 та b довільні) та шкала відношень (y = ах, a > 0 перетворення розтягування). Розглянемо особливості шкал, інваріантних до зсуву: y =х + b.

Повторно застосовуючи зсув до y (z = y + b = z + 2b), далі до z і т.д., виявляємо, що в такій шкалі значення не змінюється при довільному числі зсувів: y = x + nb, n = 0,1,2,…Постійна b являється характерним параметром шкали і називається її періодом. Отриману шкалу називають шкалою різниць (іноді її називають циклічною або періодичною). В таких шкалах вимірюється напрям із однієї точки (шкала компасу, роза вітрів і т.д.), час доби (циферблат годинника), фаза коливань (в градусах чи радіанах).

Циклічні шкали являються частковим випадком інтервальних шкал. Однак угода про хоча і довільне, проте єдиний для нас початку підрахунку шкали дозволяє використовувати покази в цій шкалі як числа, застосовувати до них арифметичні дії (до тих пір, поки хто-небудь не забуде про умовність нуля, наприклад при переході на літній час або навпаки).

Абсолютна шкала

Розглянемо таку шкалу, котра має і абсолютний нуль, і абсолютну одиницю. Ця шкала не єдина з точністю до деякого перетворення, а просто єдина, унікальна. Саме такими якостями володіє числова вісь, котру істотно назвати абсолютною шкалою. Важливою особливістю абсолютної шкали порівняно із всіма іншими є відвертаність (без розмірність) та абсолютність її одиниці. Вказана особливість дозволяє виконувати над показами абсолютної шкали у явній формі такі операції, що недопустимі для показів інших шкал, - вживати ці покази у якості показника степеня і аргументу логарифма. Числова вісь використовується як вимірювальна шкала у явній формі при підрахунку предметів, а як допоміжний засіб присутня у всіх інших шкалах.

Підсумкова таблиця вимірювальних шкал

Назва

шкали | Визначальні

відношення | Еквівалентне

Перетворення

шкал | Допустимі операції

над даними (первинне оброблення | Вторинне

оброблення

даних

Номінальна | Еквівалентність | Перестановки найменувань | Обчислення символу Кронекера дij | Обчислення відносних частот та операцій над ними

Порядкова | Еквівалентність;

перевага | Не змінюючи порядку (монотонне) | Обчислення дij та рангів Ri | Обчислення відносних частот та вибіркових квантилей, операції над ними

Інтервальна | Еквівалентність;

перевага;

зберігання відношення інтервалів | Лінійне перетворення

y = ax+b, a > 0, | Обчислення дij , рангів Ri та інтервалів (різниць між спостереженнями) | Арифметичні дії над інтервалами

Циклічна | Еквівалентність;

перевага;

зберігання відношення інтервалів;

періодичність | Зсув y = x+nb,

b – const,

n = 0,1,2,… | Теж, що і для інтервальної шкали | Теж, що і для інтервальної шкали

Відношень | Еквівалентність;

перевага;

зберігання відношення інтервалів;

зберігання відношень двох значень | Розтягування

y = ax, a > 0 | Всі арифметичні операції | Довільне необхідне оброблення

Абсолютна | Еквівалентність;

перевага;

зберігання відношення інтервалів;

зберігання відношень двох значень; абсолютна та безрозмірна одиниця; абсолютний нуль | Шкала унікальна | Всі арифметичні операції; використання у якості показника степеня, основи та аргументу логарифму | Довільне необхідне оброблення

Поняття розпливчастості

В дійсності зустрічаються (набагато частіше, ніж здається) випадки, коли тотожність чи різниця двох станів та/або спостережень не можна стверджувати із повною впевненістю. Найбільш явно це видно на прикладі шкал, у котрих класи позначаються конструкціями природної мови. “В кімнату зайшов висока молода людина” – клас, до котрого належить людина, названий (тобто вимір відбувся), проте якого зросту та скільки їй років? “В руках він (вона) тримала досить важкий пакунок” – якої ваги була ця ноша? Якщо розібратися, то майже кожне слово позначає деяку не зовсім визначену множину. (“Майже” – який відсоток? “Наше” – чиє саме? “Деяке” – яке ж? “Не зовсім” – наскільки? “Визначене” – ким та як? І т.д.). Це властивість природної мови, природне та невід’ємне, безперечне, корисне (інакше б воно не закріпилося в процесі розвитку мови), проте приводить до утруднень, коли невизначеність, що його супроводжує, заважає. Древні логіки диспутували питання про те, скільки піщинок мають бути зібраними разом, щоби отрималася купа піску; сьогодні ми просто кажемо, що слово “купа” – це лише мітка не чітко визначеної множини. Спір про те, скільки піщинок в “купі”, еквівалентний суперечці про те, в якому віці людина стає “старою” або скільки волосинок повинно у неї випасти, щоби стати “лисим”.

Ця невизначеність смислу мовних конструкцій являється однією з основних перешкод аналізу та синтезу мови, автоматичного (та й не тільки автоматичного) перекладу з однієї мови на іншу. Наприклад, одному англійському реченню, що складається із п’яти слів, можна дати п’ять різних (!) смислових інтерпретацій:

TIME FLIES LIKE AN ARROW

ЧАС ЛЕТИТЬ СТРІЛОЮ

ЧАС ЛЕТИТЬ У НАПРЯМКУ СТРІЛИ

МУХАМ ЧАСУ ПОДОБАЄТЬСЯ СТРІЛА

ВИМІРЮЙ ШВИДКІСТЬ МУХ ТАК ЖЕ, ЯК ШВИДКІСТЬ СТТРІЛИ

ВИМІРЮЙ ШВИДКІСТЬ МУХ, СХОЖИХ НА СТРІЛУ

Невідомо, чи дійсний цей факт або це науково-фольклорна історія, що основана на потенційній можливості, але в літературі по автоматизації перекладу наводиться розповідь про кільцеву роботу програм, що перекладають з однієї мови на іншу: фраза “плоть слабка, а дух сильний” після декілька перекладів перетворилася у “м’ясо тухле, але горілка міцна”.

Все сказане мотивує введення