Припустимо, що між двома пунктами можливі маршрути А та В, вартість котрих СА та СВ відповідно. Зовнішні параметри а та б являються функціями різниці вартостей С = СВ – СА. Припустимо, що х < 0 відповідає маршруту А, а х > 0 – маршруту В. Тоді можна побудувати функції а(С) та б(С) такі, що знайдеться таке число л, що:

Якщо С > 0 та й велике по модулю, то можливий вибір тільки маршруту А і, отже, х < 0;

Якщо С < 0 та й велике по модулю, то можливий вибір тільки маршруту В і, отже, х > 0;

Якщо 0 < С < л, то найбільш імовірним являється вибір маршруту А, хоча можливий й вибір маршруту В;

Якщо - л < С < 0, то найбільш імовірним являється вибір маршруту В, хоча можливий й вибір маршруту А;

Якщо С = 0, то імовірності вибору кожного маршруту однакові.

Для побудови моделі процесу вибору нам було достатньо лише функції безкорисності. Іншими словами, ми не відчували необхідності у більш докладному описі внутрішньої динаміки процесу (котрого для більшості соціально-економічних систем взагалі нема). Більш того, на не потрібно навіть знати точного виду функції E(х,а,b). Єдине, що вимагається, - це наша готовність признати сам факт існування такої функції, а все інше випливає із абстрактних математичних міркувань та наявних числових даних (включаючи і точний вид кривої, що представлена на наступному рис., оскільки це необхідно для кількісного моделювання даної системи). Для моделювання подібних ситуацій використовується теорія катастроф Тома.

х

Маршрут В

С

- л л

Маршрут А

Розглянуті приклади свідчать про те, що абстрактна характеристика конкретної ситуації може бути отриманою за допомогою різних типів математичних описів. Однак при цьому істотно виникає питання: а для чого взагалі потрібне який-небудь математичний опис? Відповідь на це питання в значній степені пов’язана із не тривіальністю сучасних наукових результатів та необхідністю вміти виділяти суттєві якості описових моделей. Окрім того, використання саме математичного опису зумовлене наступними важливими міркуваннями:

Компактністю. Словесний (або вербальний) опис системи (або процесу), як правило, являє собою нагромадження нечітких висловлювань, котрі лише затуманюють суть справи. Позбавитися від таких нечітких та не до кінця продуманих міркувань допомагає компактна математична символіка. Математичний опис дає нам аналог знайомої картини і виявляється інформативніше довільного словесного опису.

Ясністю. Використання математичного опису дозволяє кожному аспекту процесу, що вивчається, поставити у відповідність визначений математичний символ, в результаті чого становиться більш наглядним взаємозв’язок, що існує між різними параметрами процесу. Більш того, подібне співставлення дозволяє значно простіше, ніж словесний опис, виявити, чи не були внесені які-небудь додаткові несуттєві складності при побудові опису.

Можливістю чисельного аналізу. Як тільки зроблено вибір деякого математичного опису, останній “починає жити” власним життям, більш-менш незалежно від самого досліджуваного процесу. Іншими словами, математичним описом можна маніпулювати у відповідності до звичайних законів логіки в надії отримати нетривіальне уявлення про саму систему. Крім того, математична модель дає основу для чисельного аналізу, за допомогою якого можуть бути отриманими дані не тільки описового, але й прогностичного характеру.

Початковий етап побудови математичної моделі даної системи полягає в ідентифікації суттєвих змінних та їх взаємозв’язків. В залежності від конкретного типу вибраного математичного опису ідентифікація може включати визначення розмірності простору станів, опис внутрішньої динаміки системи та змістовних зв’язків між множинами об’єктів, розподіл ймовірностей для випадкових впливів. Оскільки ідентифікація залежить від типу математичного описання, що в свою чергу залежить від того, наскільки вдало проведена ідентифікація і т. д. і т. д., то процес побудови моделі являється ітераційним: спочатку вибирається математичне описання, котре потім модифікується в залежності від результатів ідентифікації, що призводить до нового описання, і процес повторюється.

СА, як і політика, - це перш за все мистецтво діяти в межах “можливого”. Розглядаючи математичне формулювання тої чи іншої задачі, дослідник (або особа, яка приймає рішення) повинні повністю уявляти собі ті внутрішні та зовнішні фактори, котрі можуть обмежити його вибір стратегій управління. Різні обставини, що пов’язані з об’ємом наявних ресурсів, попитом, що потрібно задовольнити, наявної технології, наявністю і можливістю ЕОМ, людськими ресурсами, бюджетом часу і т. д., різко звужують коло можливостей, що доступні особі, яка приймає рішення.

Виділяють два принципово різних типа обмежень:

внутрішні – обмеження, що накладаються структурою самої системи,

зовнішні – обмеження, що накладаються на поведінку системи зовнішніми факторами.

Внутрішні обмеження виникають внаслідок визначеної обмеженості можливостей вимірювати характеристики стану системи та управляти протіканням процесу, тобто вони обмежують взаємодію системи із зовнішнім світом. Взагалі, обмеження цього типу найбільш чітко видні тоді, коли для внутрішнього опису використовують диференційні або різницеві рівняння. Для ілюстрації поняття внутрішніх обмежень розглянемо приклад із області біомедицини.

Приклад 4. Фармакокінетика

Припустимо, що пацієнт з хворим серцем отримує препарат дигітоксину, котрий в результаті процесу обміну речовин перетворюється у дигоксин. Оскільки останній має властивості накопичуватися в організмі, що в результаті може привести до летального кінця, то дуже важливо вміти точно визначати його вміст в організмі перш, ніж пацієнт прийме чергову порцію дигітоксину.

Багатокомпонентна модель, що використовується для опису кінетики і перетворень дигітоксину, зображена на наступному рис.

k2

k1 k4 k3