Рис. Багатокомпонентна структура процесу обміну речовин.

Тут X - вміст дигітоксину в організмі, Y - вміст дигоксину, S1 та S3 - сечові виділення, S2 та S4 - несечові виділення і kі - коефіцієнт дифузії, і = 1, 2,...,5.

Звичайно прийнято вважати, що якщо в організм вводиться деяка доза дигітоксину, то приблизно 92% цієї дози миттєво розноситься по організму і біля 85% від решти 8% зразу ж перетворюється в дигоксин. Припускається, що динаміка концентрації ліків X та Y може бути описаною наступним чином:

Хя= -(k1 + k2 + k4)Х,

Yя = k2X – (k3 + r5)Y,

Sя1 = k1X,

Sя2 = k3Y,

Sя3 = k4X,

Sя4 = k5Y.

Початкові умови мають вигляд

X(0) = .92D, Y(0) = (.85) (.08)D,

S1(0) = S2(0) = S3(0) = S4(0) = 0,

де D – введена доза дигітоксину.

Припустимо, що можна виміряти вміст дигітоксину та дигоксину тільки в сечових виділеннях. Тоді вихід системи має вигляд

y1(t) = S1(t),

y2(t) = S2(t).

Саме це реалістичне з практичної точки зору обмеження і є тим, що називається внутрішнє обмеження системи. В силу цього обмеження не всі внутрішні змінні системи доступні для безпосереднього виміру.

Маючи на увазі основну задачу, що стоїть перед лікарем, необхідно знати, чи достатні виміри змінних y1 та y2 для визначення невідомої початкової дози ліків D.

Зовнішні обмеження мають якісно інший характер. Вони обумовлені не фізичними чи структурними обмеженнями самого процесу, а “свавіллям” особи, яка приймає рішення, що являється “зовнішнім” по відношенні до системи. Взагалі, ці обмеження пов’язані з такими обставинами, як обмеження наявних ресурсів та виробничих потужностей, наявністю заданого попиту і т. д. Суттєвим моментом тут являється те, що ці обмеження накладаються ззовні і не мають жодного відношення до математичних обмежень, що містяться в самій моделі.

Типові приклади зовнішніх обмежень містяться в задачах економічного управління, де вимагається визначити відповідний розподіл фіксованих фінансів для досягнення визначених цілей. Візьмемо, як приклад, співробітника деякої компанії, відповідального за рекламу її продукції, причому бюджет, котрий компанія виділила на рекламні цілі, складає М доларів. Це значить, що він може витратити М доларів на розміщення рекламних об’яв, скажемо, в газетах, журналах, на телебаченні, радіо та рекламних афішах. Припустимо, що вкладення хі доларів в і-й спосіб реклами (газети, журнали і т. д.) призводить до збуту партії об’єму і(хі), причому функції і(М) вважаються відомими. Оскільки компанія зацікавлена в максимізації збуту, рекламодавець стикається з розв’язком задачі максимізації

fі(хі)

по всьому розподілу {xгаз, xжурн, xрад, xтв, xаф}при зовнішньому обмеженні

xi ? M.

Отже, зовнішнє обмеження виникла з-за обмеження бюджету, а не з-за образу взаємодії системи з зовнішнім світом.

В якості другого прикладу зовнішнього обмеження розглянемо задача про пілота, якому необхідно прилетіти з пункту А в пункт В за мінімальний час. В залежності від характеристик літака і інших припущень, математичний розв’язок цієї задачі може привести до оптимальної траєкторії, що показана на рис. б. Очевидно, що такий розв’язок не враховує реальних обмежень, наявних в цій ситуації, котрі мусять бути накладеними ззовні з тим, щоби зробити задачу

y y

B B

A A

x x

Земля

a b

розумною з фізичної точки зору. Необхідне зовнішнє обмеження (y>0) привело б тоді до оптимальної траєкторії, більш схожою на зображену на рис. а.

Запитання для роздумів, самоконтролю, повторення

У чому полягає пізнання за допомогою моделювання?

Що таке аналогія та яким чином вона використовується в моделюванні?

Дайте визначення поняття “модель”.

У чому сенс моделювання з точки зору пізнання?

У чому полягають основні відмінності між моделлю та дійсністю?

Опишіть структуру взаємозв’язків між дослідником, моделлю та системою?

У чому полягає різниця між матеріальними та розумовими моделями?

На чому ґрунтуються успіхи математичного моделювання в обчислювальному експерименті на ЕОМ?

Поясніть схему алгоритму постановки задач системного дослідження проблеми.

В чому полягають переваги системного підходу у моделюванні?