. | (6.1.51)

Таким чином, рівноважна та оптимальна траекторія зайнятості співпадають. В цьому відношенні політика (2.1.39) ефективніша, за політики (2.1.1) та (2.1.19).

З (2.1.6) , (2.1.21), (2.1.41), (2.1.42) та (2.1.47) — (2.1.50) маємо |

(2.1.52)

(2.1.53)

(2.1.54)

(2.1.55)

де

Точні траекторії зміни змінних визначаються початковими значеннями цих змінних і системою рівнянь (2.1.52) — (2.1.55), а наближені траекторії – тими ж початковими значеннями і системою лінійних рівнянь, які включають (2.1.52), (2.1.53), (2.1.55) та |

(2.1.56)

Характеристичними коренями матриці коефіцієнтів останньої системи є корені рівняння |

(2.1.57)

де

Необхідні і достатні умови від’ємності дійсних частин цих коренів задаються нерівностями: , , , . Відмітимо, що . Відповідно, політика (2.1.39) може справляти дестабілізуючу дію.

Припустимо, наприклад, що ; ; ; ; ; ; ; ; , корені рівняння (2.1.57) рівні ; ; . Порівняння цього результату, з результатом, отриманим при допушенні постійної пропозиції грошей показує, що в цьому випадку один з проявів грошової політики зводиться до зменшення демпфування циклу.

Політика (2.1.1), (2.1.19) та (2.1.39) є частинними випадками більш загальної політики, що описується рівнянням |

(2.1.58)

З рівняння (2.1.1) випливає що , із (2.1.19) – що , а із (2.1.39) – що . У найбільш ефективної політики такого типу, зрозуміло, всі три параметри повинні мати додатні значення. Розглянемо тепер дещо менш загальний випадок, коли , , . В цьому випадку рівняння (2.1.58) має вигляд |

(2.1.59)

і повна модель описується рівнянням (1.1) — (1.9) та (2.1.59).

Із (1.4), (2.1.40) та (2.1.59) маємо |

(2.1.60)

Траекторії зміни змінних та визначаються початковими значеннями цих змінних та системою рівнянь, що включає (2.1.6), (2.1.21), (2.1.41) та (2.1.60). Рівноважні траекторії росту цих змінних задаються рівняннями (2.1.43) — (2.1.50), а рівноважна траекторія росту зайнятості – рівнянням (2.1.51). Таким чином рівноважна та оптимальна траекторії зайнятості співпадають. Цей результат отримується, по суті, при довільній політиці, яку можна описати рівнянням виду (2.1.58) при умові .

З (2.1.60) та (2.1.48) — (2.1.50) маємо |

(2.1.61)

де змінні визначаються аналогічно з (2.1.55). Справедливі в даному випадку і співвідношення (2.1.52) — (2.1.54). З (2.1.53), (2.1.54) та (2.1.61) отримаємо |

(2.1.62)

Точні траекторії зміни визначаються початковими значеннями цих змінних і системою рівнянь (2.1.52) — (2.1.54) та (2.1.62), а наближені траекторії – тими ж початковими значеннями і системою лінійних рівнянь, які включають (2.1.52), (2.1.53), (2.1.56) та |

(2.1.63)

Припустимо, наприклад, що задані такі значення праметрів: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; . При цих умовахнаближена система має вигляд |

(2.1.64)

де

Характеристичні корені рівні: . Тобто, в порівнянні з випадком, коли та , демпфування циклю збільшується, але період скорочується.

Бюджетна політика

В розглядуємій моделі поки що, формально не враховувались державні витрати та податки. Однак величіну можна вважати сумою реального особистого споживання та реальних поточних державних витрат на товари та послуги. А відповідає сумі державного та приватного основного капіталу. Тоді з рівняння (1.1) випливає, що величина рівна сумі реальних приватних та державних заощаджень, де останні визначаються як перевищення реальних надходжень від податків над реальними поточними державними витратами на товари та послуги. При цьому параметр залежить від трьох відношень: 1. відношення особистого споживання до особистого доходу; 2. відношення надходжень від податків до доходу (тобто середній нормі оподаткування); 3. відношення поточних державних витрат на товари та послуги до надходжень від податків. До цих пір в неявному вигляді припускалося, що ці три відношення постійні. Нехай тепер друге і трете відношення змінюються відповідно змінам пропорційного рівня зайнятості. Отже величина тепер буде розглядатися на як змінна, а як параметр.

Припустимо, зокрема, що |

(2.2.1)

де — додатні константи. Тоді повна модель буде описуватися рівняннями (1.1) — (1.10) та (2.2.1). Із (1.4) та (2.2.1) випливає |

(2.2.2)

що разом з (1.17) дає |

(2.2.3)

Маємо також |

(2.2.4)

(2.2.5)

що ідентично (1.16) та (1.15) відповідно.

Траекторії зміни та визначаються початковими значеннями змінних та системою рівнянь (2.2.3) — (2.2.5). Ця система має частинний розв’язок: |

(2.2.6)

(2.2.7)

(2.2.8)

де |

(2.2.9)

(2.2.10)

(2.2.11)

(2.2.12)

З (1.4), (2.27), (2.2.8), (2.2.10) та (2.2.11) випливає, що рівноважна траекторія росту зайнятості визначається рівнянням: |

(2.2.13)

де

Відмітимо, що рівняння (2.2.13) тотожне (1.28) в тому розумінні, що не залежить від та . Отже рівноважна траекторія росту зайнятості не залежить від оптимальної траекторії і бюджетна політика яка визначена рівнянням (2.2.1), на неї не впливає. Однак ця політика впливає на рівноважну траекторію росту випуску продукції. Дійсно, із (2.2.11) випливає, що . Це пояснюється тиж, що ріст норми оподаткування (обумовлений зменншенням державних позик в приватному секторі) або зниженням частки надходжень від податків, направленою на покриття державних витрат, призводить до збільшення рівноважного відношення капіталу до випуску продукції.

З рівнянь (2.2.3) — (2.2.5) та (2.2.9) — (2.2.12) отримаємо |

(2.2.14)

(2.1.15)

(2.1.16)

де

Точні траекторії зміни змінних визначаються початковими значеннями цих змінних і системою рівнянь (2.2.14) — (2.2.16), а наближені траекторії – тими ж початковими значеннями і системою лінійних рівнянь, які включають (2.2.14), (2.2.15) та |

(2.2.17)

Характеристичними коренями матриці коефіцієнтів останньої системи є корені рівняння

, | (2.2.18)

де

У співвідношення (2.2.1) яке описує вплив зворотнього зв’язку входять обидва параметри політики та . Значення цих параметрів впливає не тільки на стійкість системи, але і на рівноважне відношення капітал — випуск. Припустимо, що бажанне значення (яке являється рівноважним значенням відношення основного капіталу до випуску продукції) визначається як окреме рішення прийнятої політики. При цьому врахуємо, що рівноважна траекторія росту випуску буде тим вища, а початковий рівень споживання тим нижчий, чим більше значення . Таким