Основні властивості множин, форми та представлення множин.

Множини А, В… називаються сукупністю елементів а, b, … причому певна сукупність елементів утворює певну множину: тоді а є А, b є В або

А э а, В э b.

Якщо всі елементи з яких складається множина А, входять у В, причому рівність А=В не виключається, то ми називаємо множину А підмножиною В: .

Наприклад, цілі числа утворюють підмножину всіх дійсних чисел. Якщо множина не містить жодного елемента, то множина є порожнью . Тому будь-яка множина містить порожню множину, як підмножину.

Розглянемо операції над множинами елементарних подій.

Якщо А, В довільні множини, то об`єднання С:

Сума будь-якого скінченого або нескінченного числа елементів множин є сукупністю елементів, кожен з яких належить хоча б одній з множин .

Перетин.

- множина, яка складається із усіх елементів, які належать як А так і В.

Операції об`єднання та перетину множин, за своїми позначеннями є операціями асоціативності, дистребутивності, комутативності:

Комутативність:

Асоціативність:

Дистребутивність:

Диз`юнкція (сума по модулю):

Віднімання :

Симетрична різниця:

Принцип дуальності для множин:

Доповнення суми = перетину доповнень

Доповнення перетину = сумі доповнень:

Для наглядності операцій над множинами, використовують круги Єйлера.

Введемо наступні позначення:

А - подія;

- елементи простору ;

- простір елементарних подій;

U - простір елементарних подій як достовірна подія;

V - неможлива подія.

Іноді для зручності елементарні події позначатимемо Ei, Qi.

1. Подія C називається сумою A+B, якщо воно складається зі всіх елементарних подій, що входять як в A, так і в B. При цьому якщо елементарна подія входить і в A, і в B, то в C воно входить один раз. В результаті випробування подія C відбувається тоді, коли відбулася подія, яка входить або в A або в B. Сума довільної кількості подій складається зі всіх елементарних подій, які входять в одне з Ai, i=1 ..., m.

2. Подія C твором A і B, якщо воно складається зі всіх елементарних подій, що входять і в A, і в B. Твором довільного числа подій називається подія що складається з елементарних подій, що входять у все Ai, i=1 ..., m.

3. Різницею подій A-B називається подія C, що складається зі всіх елементарних подій, що входять в A, але що не входять в B.

4. Подія називається протилежною події A, якщо воно задовольняє двом властивостям.

Формули де Моргана: і

5. Події A і B називаються несумісними, якщо вони ніколи не можуть відбутися в результаті одного випробування.

Події A і B називаються несумісними, якщо вони не мають загальних елементарних подій.

C=AB=V

Тут V - порожня множина.

Основні властивості операцій над множинами

Вирази (1а) - (3а) виражають закони комутативності, асоціативності і дистрибутивності для об`єднання, а вирази (1б) – (3б) – ті ж закони для перетину. Відношення (4а) – (7а) визначають властивості пустої множини та універсуму U відносно об`єднання, а вирази (4б) – (7б) – відносно перетину.

Вирази (8а) та (8б), називаються законами ідемпотентності, дозволяють записувати формули з множинами без коефіціентів та показнтків степеня. Залежності (9а) та (9б) представляють закони поглинання, а (10а) та (10б) – теореми де Моргана. (11) та (12) – властивості доповнення, різниці, диз`юнктивної суми, включення та рівності.

Спектральне представлення сигналів та ряди Фур`є. Комплексна форма ряду Фур`є.

Спектральна (частотна) форма представлення сигналів використовує розкладання сигнальних функцій на періодичні складові.

Жан Батист Фурье обгрунтував метод обчислення коефіцієнтів тригонометричного ряду, яким можна відображати з абсолютною точністю (при нескінченному числі членів ряду) або апроксимувати із заданою точністю (при обмеженні числа членів ряду) будь-яку періодичну функцію, визначену на інтервалі одного періоду T = b-a, і що задовольняє умовам Дірехле (обмежена, шматково-безперервна, з кінцевим числом розривів 1-го роду). Ряди Фурье в речовинній формі мають наступний вигляд:

y(x) =(a0/2) +(ak cos(2pkf1x) + bk sin(2pkf1x)), f1 = 1/T.

ak = (2/T)y(x) cos(2pkf1x) dx, bk = (2/T)y(x) sin(2pkf1x) dx.

Розкладання сигналу на гармонійні функції отримало назву прямого перетворення Фурье. Зворотний процес – синтез сигналу по синусоїдах – називається зворотним перетворенням Фурье (inverse Fourier transform).

Спектральне перетворення функцій, по суті, є представленням функцій в новій системі координат, тобто переклад початкових функцій на новий координатний базис. Вибір найбільш раціональної ортогональної системи координатного базису функцій, як правило, залежить від мети досліджень і визначається прагненням максимального спрощення математичного апарату аналізу, перетворень і обробки даних. Як базисні функції в даний час використовуються поліноми Чебишева, Ерміта, Лагера, Лежандра та інші. Найбільшого поширення набуло перетворення сигналів в базисах гармонійних функцій: комплексних експоненціальних exp(j2pft) і дійсних тригонометричних синусо-косинусних функцій, пов'язаних один з одним формулою Ейлера. Це пояснюється тим, що гармонійні коливання є функціями часу, що зберігають свою форму при проходженні через будь-який лінійний ланцюг, змінюються тільки амплітуда і початкова фаза коливань, що дуже зручно для аналізу систем перетворення сигналів.

Спектральний аналіз часто називають частотним аналізом. Термін "частотний" зобов'язаний походженням зворотної змінної f = 1/|t| тимчасового представлення сигналів і функцій. Поняття частотного перетворення не слід пов'язувати тільки з тимчасовими аргументами, оскільки математичний апарат перетворення не залежить від фізичного сенсу незалежних змінних. Так, наприклад, при змінній "х", як одиниці довжини, значення f буде просторовою частотою з розмірністю 1/|х| - число періодичних змін сигналу на одиниці довжини.

У математичному апараті частотного аналізу зручно використовувати кутову частоту w = 2pf. Для процесів по інших незалежних змінних в технічній літературі замість індексу частоти f часто використовується індекс v, а для кутової