Поняття власних функцій. Зручність використання частотного представлення сигналів полягає в тому, що гармонійні функції є власними функціями операцій перенесення, інтеграції, диференціювання і інших лінійних операцій, інваріантних по координатах. Вони проходять через лінійні системи, не змінюючи форми, а змінюють лише фазу і амплітуду.

Допустимо, що початкова функція є лінійною комбінацією функцій синуса і косинуса:

s(х)= А sin(х)+B cos(х).

Здійснимо довільне зрушення функції по аргументу на величину h. При цьому отримуємо:

s(х+h)= C sin(х)+D cos(х)

C = А cos(h) – B sin(h)

D = A sin(h)+ B cos(h)

де коефіцієнти C і D, як і в початковому виразі коефіцієнти А і В, не залежать від аргументу, при цьому C2+D2 = А2+В2. Таким чином, при довільному перенесенні функції по аргументу (а рівно і при інтеграції, диференціюванні і інших лінійних перетвореннях) будь-яку лінійну комбінацію синуса і косинуса можна представити лінійною комбінацією цих же функцій.

Експоненціальний комплексний запис гармонійних функцій робить цю властивість ще наочніше. Для довільної гармонійної функції маємо:

cos(wt-j) = A cos(wt)+B sin(wt),

де A = cos(j), B = sin(j), j - початковий фазовий кут коливання при t = 0. Переходячи до комплексного запису даної функції з використанням тотожності Ейлера

cos(wt) = [ехр(jwt)+exp(-jwt)]/2, sin(wt) = [ехр(jwt)-exp(-jwt)]/2j,

отримуємо:

cos(wt-j) = C exp(jwt)+C*exp(-jwt),

де: C = 0,5 exp(-jj), C* = 0,5 exp(jj) – величина, комплексно зв'язана з С. Застосовуючи, як гармонічну складову розкладу сигналу функцію ехр(jwt), можна розглядати другу функцію ехр(-jwt), комплексно зв'язану з першою, як таку ж складову, але з негативною частотою. Природно, що негативна частота є чисто математичною абстракцією, але потрібно пам'ятати, що пара таких комплексно зв'язаних складових в сумі завжди дає дійсну функцію.

Експоненційні функції також є власними функціями лінійних операцій. Для операції перенесення з використанням експоненційних функцій:

exp[jw(t+h)] = exp(jwh)·exp(jwt) = H(w) exp(jwt),

де Н(w) = exp(jwh) - власне значення операції перенесення, незалежне від змінної.

Для операції диференціювання:

d[exp(jwt)]/dt = jw exp(jwt), H(w) = jw.

Для операції інтегрування:

exp(jwt) dt = (1/jw) exp(jwt), H(w) = 1/jw.

У загальній формі, для будь-яких лінійних операцій перетворення:

Т[exp(jwt)] = H(w) exp(jwt),

де T[.] - довільний лінійний оператор, H(w) - власне значення операції, незалежне від аргументу.

У фахівців - практиків існує упередження проти використання комплексних функцій з їх уявними частотами. Тому надалі використовуватимемо і дійсні функції, і їх комплексні аналоги, принаймні, до тих пір, поки простота і зручність використання останніх не стане очевидним.

Ряди Фурье. Розкладанню в ряди Фурье піддаються періодичні сигнали. Періодичну функцію будь-якої форми, задану на інтервалі одного періоду Т = b-a і що задовольняє на цьому інтервалі умовам Дірехле (обмежена, кусково-неперервна, з кінцевим числом розривів 1-го роду), можна представити у вигляді ряду Фурье:

s(t) =Sn exp(jnDwt), Sn = S(nDw), Dw = 2p/T, (1.1)

де вагові коефіцієнти Sn ряду визначаються по формулі:

Sn = (1/T)s(t) exp(-jnDwt) dt. (1.2)

Ряд Фурье є ансамбль комплексних експонент exp(jnDwt) з частотами, створюючими арифметичну прогресію. Функцію вагових коефіцієнтів S(nDw) прийнято називати комплексним спектром періодичного сигналу або фурье-образом функції s(t). Спектр періодичного сигналу є дискретною функцією, оскільки він визначений тільки для цілих значень n з кроком по частоті, зворотним періоду: Dw = 2p/Т (или Df = 1/T)
. Першу частотну складову спектру при n = 1, рівну w1 = 1Dw = 2p/T (або f1 = 1/T)
, називають
основною
частотою сигналу (першою гармонікою), решта частот дискретного спектру nw1
при n>1 називає гармоніками сигналу. Значення S(nDw)
по позитивних і негативних значеннях n є комплексно зв'язаними. Крок по частоті Dw

між двома сусідніми синусоїдами з розкладу
Фурье називається
частотним дозволом спектру.

З чисто математичних позицій множина функцій exp(jnDwt)

- < n < утворює безконечномірний базис лінійного простору L2[a,b] ортогональних синус-косинусних функцій, а коефіцієнти Sn по (1.2) є проекціями сигналу s(t) на ці базисні функції. Відповідно, сигнал s(t) у формі ряду Фурье (1.1) – це безконечномірний вектор в просторі L2[a,b], крапка з координатами Sn по базисних осях простору exp(jnDwt).

Підінтегральну функцію експоненти у виразі (1.2) з використанням тотожності Ейлера

exp(±jwt) = cos(wt) ± jsin(wt)

можна розкласти на косинусную і синусну складові і виразити комплексний спектр у вигляді дійсної і уявної частини:

Sn = (1/T)s(t) [cos(nDwt) - j sin(nDwt)] dt = Аn - jBn. (1.3)

An ? A(nDw) = (1/T)s(t) cos(nDwt) dt, (1.4)

Bn ? B(nDw) = (1/T) s(t) sin(nDwt) dt. (1.5)

На мал. 1.1 приведений приклад періодичного сигналу (прямокутний імпульс на інтервалі (1-3.3), Т=40, що повторюється з періодом) і форма дійсної і уявної частини його спектру. Звернемо увагу, що дійсна частина спектру є парною щодо нуля функцією A(nDw) = A(-nDw), оскільки при обчисленні значень A(nDw) за формулою (1.4) використовується парна косинусна функція cos(nDwt) = cos(-nDwt). Уявна частина спектру є непарною функцією B(nDw) = -B(-nDw), оскільки для її обчислення по (1.5) використовується непарна синусна функція

sin(nDwt) = - sin(-nDwt).

Мал. 1.1. Сигнал і його комплексний спектр.

Комплексні числа дискретної функції (1.3) можуть бути представлені у вигляді модулів і аргументів комплексної експоненти, що дає наступну форму запису комплексного спектру:

Sn = Rn exp(jjn), (1.3')

Rn2 ? R2(nDw) = A2(nDw)+B2(nDw),

jn ? j(nDw) = arctg(-B(nDw)/A(nDw)).

Мал. 1.2. Модуль і аргумент спектру.

Модуль спектру R(nDw) називають двостороннім спектром амплітуд або АЧХ - амплітудно-частотною характеристикою сигналу, а аргумент спектру (послідовність фазових кутів j(nDw)) - двостороннім спектром фаз або ФЧХ – фазовий-частотною характеристикою. Спектр амплітуд завжди є