парною функцією: R(nDw) = R(-nDw), а спектр фаз непарну:
j(nDw) = -j(-nDw). Приклад спектру в амплітудному і фазовому уявленні для сигналу, показаного на мал. 1.1, приведений на мал. 1.2. При розгляді спектру фаз слід враховувати періодичність 2p кутової частоти (при зменшенні фазового значення до величини менш -p відбувається скидання значення -2p).
Якщо функція s(t) є парною, то всі значення B(nDw) по (1.5) рівні нулю, оскільки парні функції ортогональні синусним гармонікам і підінтегральний добуток s(t)·sin(nDwt) дає нульовий інтеграл. Отже, спектр функції буде представлений тільки речовинними коефіцієнтами. Навпаки, при непарності функції s(t) обнуляються всі значення коефіцієнтів А(nDw) (непарні функції ортогональним косинусним гармонікам) і спектр є чисто уявним. Цей чинник не залежить від вибору меж завдання періоду функції на числовій осі. На мал. 1.3(А) можна наочно бачити ортогональність першої гармоніки синуса і парної функції, а на мал. 1.3(В) відповідно косинуса і непарної функції в межах одного періоду. Враховуючи кратність частот подальших гармонік першій гармоніці спектру, ортогональність зберігається для всіх гармонік ряду Фурье.
Мал. 1.3. Ортогональність функцій.
При n = 0 маємо Во = 0, і отримуємо постійну складову сигналу:
S0 ? Ao ? Ro ? (1/T) s(t) dt.
Тригонометрична форма рядів Фурье. Об'єднуючи в (1.1) комплексно зв'язані складові (члени ряду, симетричні щодо центрального члена ряду S0), можна перейти до ряду Фурье в тригонометричній формі:
s(t) = Ао+2(An cos(nDwt) + Bn sin(nDwt)), (1.6)
s(t) = Ао+2Rn cos(nDwt + jn). (1.6')
Значення An, Bn обчислюються за формулами (1.4 - 1.5), значення Rn і jn - по формулах (1.3').
Ряд (1.6) є розкладання періодичного сигналу s(t) на суму елементарних гармонійних функцій (косинусних і синусних) з ваговими коефіцієнтами, подвоєні значення яких (тобто значення 2An, 2Bn) не що інше, як амплітуди відповідних гармонійних коливань з частотами nDw. Сукупність амплітудних значень цих гармонік утворює односторонній фізично реальний (тільки для позитивних частот nDw) спектр сигналу. Для сигналу на мал. 1.1, наприклад, він повністю повторює праву половину приведених на малюнку спектрів з подвоєними значеннями амплітуд (за винятком значення Ао на нульовій частоті, яке, як це витікає з (1.6), не подвоюється). Але таке графічне відображення спектрів використовується досить рідко (за винятком чистих технічних додатків).
Ширше застосування для відображення фізично реальних спектрів знаходить формула (1.6'). Спектр амплітуд косинусних гармонік при такому відображенні називається амплітудно-частотним складом сигналу, а спектр фазових кутів гармонік – фазовою характеристикою сигналу. Форма спектрів повторює праву половину відповідних двосторонніх спектрів (див. мал. 1.2) також з подвоєними значеннями амплітуд. Для парних сигналів відліки фазового спектру можуть приймати тільки значення 0 або p, для непарних відповідно p/2.
Ряди Фурье довільних аналогових періодичних сигналів можуть містити нескінченно велику кількість членів. Проте одним з важливих достоїнств перетворення Фурье є те, що при обмеженні (усіканні) ряду Фурье до будь-якого кінцевого числа його членів забезпечується якнайкраще по середній квадратичній погрішності наближення до початкової функції (для даної кількості членів).