. Початкові задачі для вихідного і спряженого векторних квазідиференціальних рівнянь.

Векторні квазідиференцівльні рівняння природним чином виникають в задачах математичної фізики. Так, наприклад, при вивченні згинно-крутильних коливань балки після відокремлення змінних виникає система звичайних диференціальних рівнянь

(1.1)

де V, W – переміщення центру згину перетину балки, – кут закручування, Е, Іs, Iy, Iw, G, Ik, IA, б2, б3, – механічні і геометричні характеристики балки, colon () – вектор зовнішніх зусиль. Другий і третій коефіцієнти-матриці можуть містити узагальнені функції, що відповідає реальній фізичній моделі: зосереджені маси, моменти, узагальнені зовнішні зусилля. Якщо тепер позначити а через А0(х), А1(х), А2(х) – відповідно першу, другу і третю матриці, то систему (1.1) можна записати у вигляді рівняння

(1.2)

Подібні рівняння називатимемо векторними квазідиференціальними рівняннями.

Розглянемо спочатку однорідне векторне квазідиференціальне рівняння

(1.3)

де Ј, Ј. Умови на коефіцієнти-матриці будуть сформульовані нижче, а поки-що ми вважатимемо їх достатньо „добрими”.

Поруч з (1.3) розглянемо також матричне (операторне) квазідиференціальне рівняння

(1.4)

де тепер Ј. Рівняння (1.4) називаємо асоційованим до рівняння (1.3).

В прикладних задачах, як видно з наведеного прикладу (1.1), частіше виникають саме векторні квазідиференціальні рівняння. В той же час лінійну теорію оператор них рівнянь будувати простіше, оскільки вона в невеликій мірі аналогічна відповідній теорії для скалярних квазідиференціальних рівнянь.

Між векторним (1.3) і асоційованим до нього рівняння (1.4) існує тісний зв’язок: якщо матриця-функція Y(х) – розв’язок рівняння (1.4), – сталий вектор (Ј), то поклавши =отримуємо розв’язок векторного квазідиференціального рівняння (1.3). В цьому безпосередньо переконуємося, застосувавши до вектора обидві частини (1.4). Ця обставина диктує наступний план: спираючись на схему вивчення властивостей розв’язків скалярних квазідиференціальних рівнянь, побудувати спочатку аналог лінійної теорії для асоційованих матричних рівнянь, а потім застосувати отримані результати для векторних квазідиференціальних рівнянь.

Означення 1.1 Квазіпохідними матриці-функції Y(х), що відповідає матричному квазідиференціальному виразові Lmn[Y(х)], називаються матриці-функції Y[k](х) k = 0, m+n, що визначаються так:

Y[k]=Y(k), Y[0]= (???)Y;

Y[n]=Y(n-1); (1.5)

Y[n+k]=-(Y[n+k-1])/ +Y(n-1), k=

Означення 1.2. Спраженим називається матричне квазідиференціальне рівняння

(1.6)

де (х) – ермітово спряжені до Аij(х) матриці-функції.

Означення 1.3. Квазіпохідними матриці-функції Y(х), що відповідають квазідиференціальному рівнянню (1.6), називаються матриці-функції Y{k}(х), що визначаються наступним чином:

Y{k}=Y(k), Y{0}= (???)Y;

Y{m}=–Y(m-1); (1.7)

Y{m+k}=–(Y{m+k-1})/ –Y(m-1), k=

Як і в скалярному випадку, квазіпохідні (1.7) визначаються однозначно, якщо визначені квазіпохідні (1.5) і навпаки. Зауважимо також, що для векторного квазідиференціального рівняння (1.3) квазіпохідні (1.5) зберігають свій вигляд після формальної заміни на . Це зауваження торкається також квазіпохідних (1.7) спряженого рівняння.

Надалі вважатимемо, що Аij(х) – комплексно значні матриці-функції дійсної змінної х, що визначені на І. Крім того, припускатимемо, що

– локально вимірна і обмежена на І матриця-функція;

Аіо(х), Аіj(х) L2(І), і =, j = ;

Аіj(х) = (x), , j = , Bij(x) .

Аналогічно як і в скалярному втпадку за допомогою квазіпохідних (1.5) матричне квазідиференціальне рівняння (1.4) зводиться до узагальненої диференціальної системи 1-го порядку

(1.8)

де

Ј

Ј,

а блочна матриця-міра (x) має такий самий вигляд, що й матриця-міра (x) в системі із скалярними елементами, де формально необхідно зробити заміну (х)(х) . В зв’язку з цим стає очевидним, що система (1.8) коректна (а разом з нею квазідиференціальні рівняння (1.4) і (1.6)). При перевірці коректності, тобто умови [?B(х)]найпростіше скористатися правилом множення блочних матриць.

Означення 1.4. Під розв’язком матричного квазідиференціального рівняння (1.4) розуміється перша блочна компонента Y(х) прямокутної матриці У(х), що задовольняє це рівняння в узагальненому сенсі.

Означення 1.5. Під розв’язком спряженого квазідиференціального рівняння (1.6) розуміється остання блочна компонента Y(х) прямокутної матриці У(х) спряженої системи

, (1.9)

що задовольняє (1.6) в узагальненому сенсі. При цьому

Ј.

Як і в скалярному випадку, початкові задачі для матричних квазідиференціальних рівнянь слід ставити в термінах квазіпохідних вихідного або спряженого рівнянь:

(1.10)

(1.11)

(1.12)

(1.13)

Наступні твердження – очевидні узагальнення теорем І і ІІ відповідно.

Теорема 1.1. Існує єдиний розв’язок Y(x) задачі (1.10), (1.11) такий, що Y[k](х) AC(І), а Y[n+v](х) , v = і в точках хs І розривів матриць функцій Вij(х) мають стрибки, що визначаються формулами

?Y[n+v] (xs) = (1.14)

Доведення 1.1. Зведемо квазідиференціальне рівняння (1.10) за допомогою квазіпохідних (1.5) випливає, що мають місце узагальнені рівності.

(1.21)

Використовуючи тепер рівності (9.15) введемо в розгляд вектори

,

,

а також матрицю Јнаступної структури

Тоді задача (1.12), (1.13) може бути записана у вигляді

(1.22)

(1.23)

Переконаємось спочатку, що система (1.20) коректна. Дійсно, оскільки коефіцієнти Аij(х) квазідиференціального рівняння (1.12) задовольняють умови 1) – 3), то

?С(х)= (1.24)

Звідси безпосередньо перевіркою переконуємося, що

[?С(х)]2?0

Але тоді задача (1.20), (1.21) еквівалентна інтегральному рівнянню

(1.25)

Звідки негайно випливає існування і єдність її розв’язку у(х). Оскільки згідно з означенням.

Означення: Під розв’язком квазідиференціального рівняння Ј[у]=0 будемо розуміти першу координату у(х) вектора У(х) диференціальної системи , що задовольняє його в узагальненому сенсі (в сенсі теорії узагальнених функцій)

(Јц) = 0, цD0(I)

Під розв’язком квазідиференціального рівняння (1.12) розуміємо першу координату у(х) вектора У(х) диференціальної системи (1.20), то звідси випливає також існування і єдність розв’язку початкової задачі (1.12), (1.13)

Доведемо тепер другу частину теореми. Умова стрибка розв’язку інтегрального рівняння (1.23) має вигляд

?У(хs) = ?C(xs)·У(хs) (1.26)

Але тоді на основі структури матриці стрибків ?C(x) (1.22) можна зробити висновок, що

?У[k](хs) = 0

тобто розв’язок у(х) і його квазіпохідні у[k](х) до (n-1)-го порядку включно принаймні неперервні. Більш того, оскільки з (1.23) випливають рівності

У[k](х) =

Де інтеграл розуміється в сенсі Лебега, то У[k](х) АС(І) . Крім того У Рівності 1.14 випливають із (1.24) і структури матриці ?С(х). Теорема доведена.

Теорема 1.2. Існує єдиний розв’язок Y(x) задачі (1.12), (1.13) такий, що Y[k](х) AC(І), а Y[ь+v](х) , v = і