?Y{m+v}(xs) = (1.27)

Доведення 2.2. Зведемо квазідиференціальне рівняння (1.12) за допомогою квазіпохідних (15) до диференціальної системи першого порядку. З формули (1.5) випливає, що мають місце узагальнені рівності.

(1.28)

Використовуючи тепер рівності (1.19) введемо в розгляд вектори

,

,

а також матрицю Јнаступної структури

Тоді задача (1.10), (1.11) може бути записана у вигляді

(1.30)

(1.31)

Переконаємось спочатку, що система (1.16) коректна. Дійсно, оскільки коефіцієнти (х) квазідиференціального рівняння (1.10) задовольняють умови 1) – 3), то

?С(х)= (1.32)

Звідси безпосередньо перевіркою переконуємося, що

[?С(х)]2?0

Але тоді задача (1.16), (1.17) еквівалентна інтегральному рівнянню

(1.33)

Звідки негайно випливає існування і єдність її розв’язку у(х). Оскільки згідно з означенням.

Означення: Під розв’язком квазідиференціального рівняння Јn[у]=0 будемо розуміти першу координату у(х) вектора У(х) диференціальної системи , що задовольняє його в узагальненому сенсі:

(Јц) = 0, цD0(I)

Під розв’язком квазідиференціального рівняння (1.10) розуміємо першу координату у(х) вектора У(х) диференціальної системи (1.17), то звідси випливає також існування і єдність розв’язку початкової задачі (1.10), (1.11)

Доведемо тепер другу частину теореми. Умова стрибка розв’язку інтегрального рівняння (1.19) має вигляд

?У(хs) = ?C(xs)·У(хs) (1.34)

Але тоді на основі структури матриці стрибків ?C(x) (1.18) можна зробити висновок, що

?У[k](хs) = 0

тобто розв’язок у(х) і його квазіпохідні У[k](х) до (n-1)-го порядку включно принаймні неперервні. Більш того, оскільки з (1.19) випливають рівності

У[k](х) =

Де інтеграл розуміється в сенсі Лебега, то У[k](х) АС(І) . Крім того У Рівності 1.27 випливають з (1.20) і структури матриці ?С(х). Теорема доведена.

Наслідок. При заміні теореми І, ІІ мають місце для відповідних векторних квазідиференціальних рівнянь.

2. Структура фундаментальної матриці

Нехай матриці-функції Y1(x), Y2(x), ... ,Ym+n(x) і Х1(х), Х2(х), ..., Хm+n(x) є розв’язками однорідних матричних квазідиференціальних рівнянь.

(2.1)

(2.2)

відповідно. Складемо блочні матриці-функції

W(x)=

V(x)=

Визначники det W (x) i det V (x) називатимемо квазівронскіанами розв’язків Yi(x) і Хі(х) відповідно.

Теорема 2.1. Для довільної точки х0 І визначники det W (x) i det V (x) дорівнюють

det W (x) = det W (x0)·

·ехр (2.3)

det V (x) = det V (x0)·

·ехр (2.4)

Доведення. Очевидно, що блочна матриця-функція W(х) задовольняє узагальнене диференціальне рівняння

(2.5)

яке еквівалентне матричному інтегральному рівнянню

(2.6)

Звідси випливає, що довільний розвязок рівняння (2.5) може бути зображений у вигляді:

W(x)=Ф(х, х0)·W(x0),

де Ф(х, х0) – еволюційний оператор, причому

det Ф (х, х0) = ехр

Оскільки із заміни bij(x)Bij(x) однозначно випливає заміна ?bij(x)?Bij(x), то

?B(x)=. (2.6)

З (2.6) випливає також, що матриці (Е+?B(xs)) мають трикутний вигляд і містять одиниці на головній діагоналі, тобто

Неперервна складова Вс(х) матриці В(х) містить на головній діагоналі лише елементи головних діагональних матриць і звідки й випливає формула (2.3). Доведення формули (2.4) абсолютно аналогічне.

Наслідок. Якщо матриці-функції такі, що виконують умови

sp () = sp ()*, (2.7)

sp () = sp ()*,

то

det W (x)·det V (x)= const.

Зауважимо, що умова (2.7) автоматично виконується, якщо, зокрема, – дійсні матриці-функції змінної х.

Означення 2.1. Розв’язки Yі(х) і=узагальненого матричного квазідиференціального рівняння (2.1) називаються лінійно незалежними, якщо матрична тотожність

при сталих матрицях Сі Ј(І1х1) можлива лише у випадку Сі=0 і лінійно залежними, якщо хоча б одна з матриць Сі відмінна від нульової.

Означення 2.2. Всяка лінійно незалежна система матриць-функцій Y1(x), Y2(x), …, Ym+n(x) – розв’язків, достатньо для рівняння (2.1) розв’язати m+n задач Коші з початковими умовами

де сталі матриці Сіj Ј(І1х1) такі, що визначним блочної матриці С Ј(І(m+n)Ix(m+n)I), що складений з „елементів” Сіj, відмінний від нуля.

Теорема 2.2. Якщо розв’язки Yi(x), i=рівняння (2.1) лінійно залежні, то квазівронскіан det W(x) цих розв’язків тотожно дорівнює нулеві на І. Навпаки, якщо det W(x)=0 хоча б в одній точці з І, то розв’язки Yі(х) – лінійно залежні.

Доведення. Нехай розв’язки Yi(x), i= лінійно залежні. Тоді принаймні одна з матриць Сі відмінна від нульової, причому

(2.8)

тотожно на І. Беручи квазіпохідні від обидвох частин (2.8), отримуємо систему лінійних однорідних матричних рівнянь

(2.9)

відносно Сi, i=яка в силу припущення має нетривіальний розв’язок. Але тоді її визначник, що є квазівронскіаном розв’язків Yi(x), тотожно дорівнює нулеві.

Якщо ж існує точка х0 І, в якій det W(x0)=0, то з формули (2.3) випливає, що det W(x)?0 на І. Але тоді система (2.9) має нетривіальний розв’язок і, зокрема, при деякій ненульовій матриці Сі виконується рівність (2.8), тобто розв’язки Yi(x) лінійно залежні.

Наслідок 1. Для того, щоб матриці-функції Y1(x), …, Ym+n(x) – розв’язки матричного квазідиференціального рівняння (2.1) – утворювали фундаментальну систему розв’язку цього рівняння, необхідно і досить, щоб det W(x)?0 хоча б в одній точці х0 І.

Наслідок 2. Якщо матриці-функції Y1(x), Y2(x), …, Ym+n(x) – утворюють фундаментальну систему розв’язків квазідиференціального рівняння (2.1), то його загальний розв’язок зображається у вигляді

Y(х)= (2.10)

де Сі Ј(І1х1) – довільні сталі матриці.

Наслідок 3. Якщо Сі Ј(І1х1) довільні сталі вектори, то загальний розвязок векторного квазідиференціального рівняння (8.3) зображається у вигляді

(х)= (2.11)

Зображення (2.11) показує, що для отримання загального розв’язку векторного квазідиференціального рівняння слід спочатку побудувати яку-небудь фундаментальну систему розв’язків асоційованого до цього матричного рівняння. Як показують результати останніх двох параграфів, така задача цілком розв’язальна, оскільки властивості розв’язків узагальнених матричних квазідиференціальних рівнянь „майже” не відрізняються від властивостей їх скалярних аналогів.

Як випливає з результатів пункту 1, матричні квазідиференціальні рівняння

Lmn[Y(x)] = 0, (2.12)

L*mn[X(x)] = 0 (2.13)

За допомогою відповідних квазіпохідних зводяться до узагальнених блочно-матричних систем першого порядку

(2.14)

(2.15)

відповідно (нагадуємо, що тут У,Х Ј(І(m+n)IxI), В(х)).

Означення 2.3. Матрицю-функцію двох змінних Ф(х, б) Ј(І(m+n)Ix(m+n)I), що задовольняє по х рівняння (2.14) і умову Ф(б, б)= Е, будемо називати еволюційним оператором, що відповідає квазідиференціальному рівнянню (2.12).

Теорема 2.3. Якщо