Ф(х, б) = (2.16)

де вираз Р*{j}*[i](x, б) означає, що над матрицею Р(х, б) виконуються наступні операції (справа наліво) в такому порядку: квазідиференціювання по х в сенсі рівняння (2.12), ермітове спряження (2.12), квазідиференціювання по б в сенсі рівняння (2.13) і знову спряження.

Доведення зображення (2.16) повністю аналогічне доведенню формули (5.5), де порядок „змішаного квазідиференціювання” не мав принципового значення. В даному випадку цей порядок в певній мірі можна змінювати, і це приводить до іншого, еквівалентного зображення Ф(х, б), що ґрунтується на такому твердженні.

Лема 2.1. має місце матрична тотожність

Р*{j}*[i](x, б)? Р[i]*{j}*(x, б). (2.17)

Доведення. Якщо Yi(x), i= – фундаментальна система розв’язків квазідиференціального рівняння (2.12), то

Р(х, б) = Сs (б)Ј(І1х1)

Але тоді

Р*{j}*[i](x, б) = (Р*{j}*[і](x, б))*=

З другого боку

Р[i]*{j}* (x, б) = (Р*{j}*(x, б))[і]=

,

звідки й випливає тотожність (2.17)

Таким чином, на основі леми 2.1, можна записати інше, еквівалентне зображення еволюційного оператора, що відповідає квазідиференціальному рівнянню (2.12):

Ф(х, б) = (2.18)

Наслідок 4. Матриці-функції Р*{j}(x, б), утворюють нормальну в точці x = б фундаментальну систему розв’язків квазідиференціального рівняння (2.12).

Наслідок 5. Еволюційний оператор ш(x, б), що відповідає спряженому матричному квазідиференціальному рівнянню (2.13), має таке зображення:

ш(x, б) ? (Ф-1(x, б))* = Ф*(x, б) =

=, (2.19)

де квазідиференціювання в сенсі вихідного рівняння (2.12) проводиться по змінній б, а в сенсі спряженого (2.13) – по змінній х.

Наслідок 6. Матриці-функції Q[i](x, б) ? P*[i](б, x), де квазіпохідні в сенсі вихідного рівняння беруться по змінній б, утворюють нормальну в точці x = б фундаментальну систему розв’язків квазідиференціального рівняння (2.13).

Розглянемо простий приклад системи диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами, що виникає при дослідженні стійкості балки сталої жорсткості g під дією крутильного моменту М і стискуючої сили р

(2.18)

Введемо вектор U = colon (z,y) і матриці

Тоді система (2.10) записується в формі

(2.19)

Це – звичайне векторне диференціальне рівняння і його перша квазіпохідна співпадає із звичайною похідною: U[1]?U/. Проте квазіпохідна спряженого рівняння

(2.20)

має вигляд V{1}?A*·V–V/=–A·V – V/. Матриця функція Р(х, б), тобто функція Коші для асоційованого до (2.19) рівняння, як легко переконатися безпосередньою перевіркою, має вигляд

(2.21)

Як випливає тепер з результатів цього параграфа, за допомогою однієї лише функції Р(х, б), що визначається формулою (2.21), а також шляхом операцій множення, диференціювання і додавання матриць будуються фундаментальні системи розв’язків асоційованих до (2, 19) і (2, 20) матричних диференціальних рівнянь відповідно, а також елементи їх еволюційних операторів.

Розглянемо тепер питання про гладкість елементів матриць-функцій Ф(х,б) і ш(х, б) по змінних х і б.

Теорема 2.4. Матриця-функція Ф(х,б) як по змінній х, так і по змінній б. Більш того, по змінній х елементи блочних стрічок до (n – 1)-ї включно АС(І), а по б елементи блочних стовпців, починаючи з (n + 1)-го, АС(І). Матриця-функція ш(x, б) по х і б. По змінній х елементи блочних стрічок, починаючи з (n+1)-ї, , а по б елементи блочних стовпців до (n-1)-го порядку включно .

Доведення цих властивостей, що дають характеристику гладкості елементів еволюційного оператора, випливає з теореми 2.3 і її наслідків. Дійсно, оскільки „породжуючими” блочними елементами Ф(х,б) і ш(x, б) є матриці Р(х,б) і Q(х,б) ?Р*(х,б) – розв’язки рівнянь (2.12) і (2.13) відповідно, то з теореми 11.1 і наслідка 2 робимо висновок, що по Р[i](х,б) і Q{j}(х,б), і = j = абсолютно неперервні. З іншого боку випливає, що по змінній б Р*{i}*(х,б), і = Q[j](х,б), j = АС(І). Решта квазіпохідних по х і б .

3. Неоднорідні векторні квазідиференціальні рівняння.

Векторним аналогом скалярного квазідиференціального рівняння (1) є рівняння

(3.1)

де Ј(І1х1), причому , а умови на коефіцієнти Аij(х) ті самі, що й в пункті 1 і Аij(х) – комплексно значні матриці-функції дійсної змінної х, що визначені на І, причому – локально обмежена і вимірна на І, Аіо(х), Аoj(x) L2(I), Aij(x) =

Означення 3.1. Квазіпохідними що відповідають векторному квазідиференціальному рівнянню (3.1), називаються вектор-функції, що визначаються формулами

=

(3.2)

за допомогою квазіпохідних (3.2) квазідиференціальне рівняння (3.1) зводиться до узагальненої диференціальної системи першого порядку

(3.3)

де

а блочна матриця-міра та сама, що й в рівнянні (1.8)

Наступні твердження узагальнюють результати пункту 1.

Теорема 3.1. Нехай рівняння (3.1) розглядається при початкових умовах

= х0І (3.4)

Тоді

1) квазідиференціальне рівняння (3.1) коректне;

2) початкова задача (3.1), (3.4) має єдиний розв’язок , зображуваний у вигляді

(3.5)

і такий, що , і= а в точках розривів хs матриць-функцій Вij(х) і вектор-функцій мають стрибки, що визначаються формулами

(3.6)

Доведення теореми випливає із структур вектора , матриці В/(х) та еволюційного оператора Ф(х, б).

Наслідок 1. Твердження теореми 3.1 зберігається, якщо Ј(І1хs), де s>1.

Наслідок 2. Якщо – довільні вектори з Ј(І1х1), то формула (3.5) дає загальний розв’язок векторного квазідиференціального рівняння (3.1).

Наслідок 3. Формула

(3.7)

при довільних сталих векторах , дає загальний розв’язок однорідного рівняння

Lmn[] = 0.

Наслідок 4. Формула

(3.8)

дає частинний розвязок неоднорідного рівняння (3.1), що задовольняє початкові умови .

Наведені вище результати для векторних квазідиференціальних рівнянь типу (3.1), особливо в частині критерію коректності, не відрізняються від їх скалярних аналогів. Проте векторне диференціальне рівняння

(3.9)

має певну специфіку. Його скалярний аналог, тобто диференціальне рівняння (2) як було показано, коректне тоді і тільки тоді, коли Якщо зробити заміну то із структури матриці (3) випливає, що для коректності диференціального рівняння (3.9) необхідно і досить виконання системи