Об'єм конуса

Побудуємо два многокутники у площині основи конуса: многокутник Р, який містить основу конуса, і многокутник Р', який міститься в основі конуса. Побудуємо дві піраміди з основами Р і Р' і з вершинами у вершині конуса. Перша піраміда містить конус, а друга міститься у конусі.

Як відомо, існують такі многокутники Р і Р', площі яких при необмеженому збільшенні числа їх сторін п необмежене прямують до площі круга в основі конуса. Для таких многокутників об'єм побудова-них пірамід необмежене прямує до , де S — площа основи конуса, а Н — його висота» Відповідно до означення, звідси випливає, що об'єм конуса

Отже, об'єм конуса дорівнює одній третині добутку площі основи на висоту.

ОБ’ЄM ЗРІЗАНОГО КОНУСА

3адача. Знайдіть об'єм зрізаного конуса, у якого радіуси основ R1 і R2 (R2 < R1 а висота h,

Розв'язання. Доповнимо даний зрізаний конус до повного.

Нехай х — його висота. Об'єм зріза-ного конуса дорівнює різниці об'ємів двох повних конусів: одного — з радіусом основи R1 і висотою х, другого — з радіусом основи R2 і висотою х — h. З подібності конусів знаходимо х:

Об’єм зрізаного конуса дорівнює:

ПЛОЩА БІЧНОЇ ПОВЕРХНІ КОНУСНІ

Впишемо у конус правильну п-кутну пірамаду. Площа її бічної поверхні

де Рп — периметр основи піраміди, a In — апофема.

При необмеженому збільшенні п пери-метр основи Рп необмежено прямує до довжини С кола основи конуса, а апофе-ма Іп — до довжини І твірної. Відповідно бічна поверхня піраміди необмежено прямує до С —. У зв'язку з цим величину С — приймають за площу бічної поверхні конуса.

Отже, площа бічної поверхні конуса обчислюється за формулою;

де R — радіус основи конуса, а l— довжи-на твірної.

Аналогічно для площі бічної поверхні зрізаного конуса з радіусами основ R1 і R2 і твірною l дістають формулу

ОБ'ЄМ КУЛІ

Застосуємо виведену формулу для об'єму тіл обертання до обчислення об'є-му кулі.

Введемо декартові координати, взявши за центр, кулі початок координат. Площина ху перетинає по-верхню кулі радіуса R по колу, яке, як відомо, задається формулою

Півколо, розміщене над віссю де, за-дається рівнянням

Тому об'єм кулі знаходимо за формулою

Кульовим сектором називається тіло, яке дістають з кульо-вого сегмента і конуса таким чином. Якщо кульовий сегмент менший за півкулю, то кульовий сегмент доповнюють конусом, у якого вершина знаходиться в центрі кулі, а основою є основа сегмента. Якщо ж сегмент більший від півкулі, то згаданий конус із нього вилучається (мал. 494). Об'єм кульового сектора дістаємо додаванням або відніманням об'ємів відповід-них сегмента і конуса. Для об'єму кульового сектора маємо таку формулу:

де R — радіус кулі, Н — висота відповідного кульового сег-__ мента.

ПЛОЩА СФЕРИ

Опишемо навколо сфери опуклий многогранник з малими гранями. Нехай S' — площа поверхні многогранни-ка, тобто сума площ його граней.

Знайдемо наближене значення площі поверхні многогранни-ка, припускаючи, що лінійні розміри граней, тобто відстань між будь-якими двома точками будь-якої грані менша за є.

Об'єм многогранника дорівнює сумі об'ємів пірамід, основами яких е грані многогранника, а вершиною — центр сфери. Оскільки всі піраміди мають одну і ту саму висоту, що дорівнює радіусу R сфери,, то об'єм многогранника:

Об'єм многогранника більший* ніж об'єм кулі, обмеженої сферою, але менший, ніж об'єм кулі з тим самим центром, а радіусом R + е. Таким чином,

Звідси

Ми бачимо, що площа поверхні описаного многогранника при необмеженому зменшенні розмірів його граней, тобто при необмеженому зменшенні є, прямує до 4П R2. У зв'язку з цим величину 4лД2 приймають за площу сфери.

Отже, площа сфери радіуса R обчислюється за формулою

Аналогічно знаходять площу сферичної частини поверхні кульового сектора, тобто площу сферичного сегмента. Для неї дістають формулу

Де Н – висота сегмента