Початкові задачі для вихідного і спряженого векторних квазідиференціальних рівнянь

Розглянемо квазідиференціальний вираз

(2.1)

Умови на коефіцієнти , які всюди нижче вважаються виконаними, наступні

1) локально обмежена і вимірна І функція;

2)

3)

Крім того, вважатимемо комплекснозначними функціями дійсної змінної, визначеними на І. Структура виразу (2.1) диктує дцільність введення наступних квазіпохідних.

Означення 2.1. Квазіпохідними функції у(х), що відповідають квазідиференціальнму виразу Lmn[y] , називаються функції , що визначаються формулами:

(2.2)

Легко переконатися, що за допомогою формул (2.2) квазідиференціальний вираз (2.1) можна записати у вигляді

Поставимо тепер наступну початкову задачу (“задачу Коші”) з початковими значеннями в точці

(2.3)

(2.4)

Теорема 2.1. Існує єдиний розв’язок у(х) початкової здачі (2.3), (2.4) такий, що і в точках х0 розривів функції від (х) мають стрибки, що визначаються формулами:

(2.5)

Доведення. Зведемо квазідиференціальне рівняння (2.3) за допомогою квазіпохідних (2.2) випливає, що мають місце узагальнені рівності

(2.6)

Використовуючи тепер рівності (2.6) введемо в розгляд вектори

а також матрицю , наступної структури

Тоді задача (2.3), (2.4) може бути записана у вигляді

(2.7)

(2.8)

Переконаємося спочатку, що система (2.7) коректна. Дійсно, оскільки коефіцієнти аij(x) квазідиференціального рівняння (2.3) задовольняють умови 1)-3), то

(2.9)

Звідси безпосередньо перевіркою переконуємося, що

Але тоді задача (2.7), (2.8) еквівалентна інтегральному

(2.10)

звідси негайно випливає існування і єдність її розв’язку Y(x). Оскільки, згідно з означення.

Означення: Під розв’язком квазідиференціального рівняння будемо розуміти першу координату у(х) вектора Y(x) диференціальної системи що задовольняє його в узагальненому сенсі (в сенсі теорії узагальнених функцій):

під розв’язком квазідиференціального рівняння (2.3) розуміємо першу координату у у(х)вектора Y(x) диференціальної системи (2.7), то звідси випливає також існування і єдність розв’язку початкової задачі (2.3), (2.4).

Доведемо тепер другу частину теореми. Умова стрибка розв’язку інтегрального рівняння (2.10) має вигляд

(2.11)

Але тоді н основі структури матриці стрибків (2.9) можна зробити висновок, що

тобто розв’язок у(х) і його квазіпохідні до (п-1)-го порядку включно принаймні неперервні. Більш того, оскільки з (2.10) випливають рівності

,

де інтеграл розуміється в сенсі Лебега, то Крім того, , значить і . Рівності (2.5) випливають із (2.11) і структури матриці . Теорема доведена.

Слід підкреслити ту властивість коректних квазідиференціальних рівнянь з мірами, що стрибки квазіпохідних їх розв’язків однозначно диктуються структурою їх коефіцієнтів і це виражається формулами (2.5). Ці формули можна трактувати також як умови спряження при паркатичній побудові квазідиференціальних рівнянь типу (2.30.

2. Властивість розв’язків спряженого рівняння.

Щоб отримати вигляд спряженого до (2.3) квазідиференціального рівняння, а також вирази для його квазіпохідних, розглянемо, згідно з означенням 1.4, узагальнену диференціальну систему

(2.12)

що спряжена до системи (2.7). Використовуючи конкретний вигляд матриці , приходимо до наступного означення.

Означення 2.1. Спряженим до (2.3) називається квазідиференціальне рівняння

(2.13)

де .

Означення 2.2ю Квазіпохідними виразу (квазіпохідними в сенсі спряженого рівняння (3.2) функції , що визначаються формулами

(2.14)

При цьому, очевидно,

Розглянемо початкову задачу

, (2.15)

. (2.16)

Теорема 3.1. Існує єдиний розв’язок у(х) задачі (3.4), (3.5) такий що а і в точках розривів функцій мають стрибки, що визначаються формулами

. (2.17)

Доведення цієї теореми аналогічне доведенню теореми 2.1 і ми його не наводимо.

На завершення проілюструємо теореми 2.1. і 3.1. на прикладі квазідиференціального рівняння 2-го порядку.

(2.18)

Тут

(2.19)

і відповідна диференціальна система першого порядку має вигляд

(2.20)

Якщо заданий вектор початкових умов , то ця система еквівалентна матричному інтегральному рівнянню

(2.21)

Звідси

(2.22)

або

(2.23)

Це значить, що у(х)принаймні неперервна. Але з (3.9) випливає, що

звідки випливає абсолютні неперервність розв’язку у(х). Квазіпохідна і її стрибок, згідно з формулою (3.11), дорівнює

Спряжень до (3.8) система має вигляд

Значить , звідки і спряжене до (3.7) квазідиференціальне рівняння буде таким:

Міркуючи як і вище, отримуємо, що

або

причому

3. Структура фундаментальної матриці

Нехай

(3.1)

- коректне квазідиференціальне рівняння п-го порядку, що зводиться до еквівалентної узагальненої системи першого порядку

(3.2)

де , - деяким чином введені квазіпохідні.

Як випливає з теорії лінійних диференціальних систем, існує еволюційний оператор В(х, а) системи (3.2), тобто матриця-функція, що по змінній х задовольняє ця систему і початкову умову В(а, а )=Е, .

Означення 3.1. Матрицю-функцію В(х, а) називатимемо еволюційним оператором, що відповідає квазідиференціальному рівнянню (3.1).

Означення 3.2. Функцією Коші квазідиференціального рівняння (3.1) називатимемо функцію двох змінних К(х, а), що по змінній х є розв’язком цього рівняння і в точці задовольняє початкові умови:

Розглянемо також спряжене до (3.1) квазідиференціальне рівняння

(3.3)

де - відповідні йому квазіпохідні (квазіпохідні в сенсі спряженого рівняння).

Означення 3.3. Нехай - достатньо галадка комплексно значна функція двох дійсних змінних, що визначена на . Вираз називатимемо змішаною квазіпохідною порядку , якщо спочатку береться і--та квазіпохідна по х в сенсі вихідного квазідиференціального рівняння (3.1), а потім від отриманого результату – j-та квазіпохідна по а в сенсі спряженого рівняння (5.3).

Теорема 5.1. Якщо - функція Коші квазідиференціального рівняння (5.1), то

,

тобто в цьому випадку результат не залежить від порядку “змішаного квазідиференціювання”.

Доведення. Оскільки, за означення, - розв’язок квазідиференціального рівняння (3.1), то має місце зображення

(3.4)

де - деяка фундаментальна система розв’язків рівняння (3.1) а - сталі, що однозначно визначаються (при фіксованому значення а) початковими умовами. Враховуючи лінійність операції обчислення квазіпохідної, з (3.4) отримуємо, що

.

Теорема доведена.

Теорема 3.2. Еволюційний оператор В(х, а), що відповідає квазідиференціальномі рівнянню (3.1), має таку структуру

(3.5)

Доведення. Позначимо елементи матриці В(х,а) через Очевидно (в силу означення 3.2), що елементи останнього її стовпця мають вигляд тобто -го порядку включено в сенсі квазідиференціального рівнянні (3.1). З врахування цього зауваження отримуємо, що

(3.6)

або

Але матриця по змінній а є розв’язком спряженої системи

,

а це значить, що всі стрічки цієї матриці, починаючи з передостанньої,