(3.7)

Виконуючи тепер в (3.7) операцію спряження, враховуючи при цьому комутативність операції комплексного спряження і квазідиференціювання, а також теорему 3.1, приходимо до формули (3.5).

Наслідок 1. Функції , утворюють нормальну в точці х=а фундаментальну систему розв’язків квазідиференціального рівняння (3.1).

Наслідок 2. Якщо - еволюційний оператор, що відповідає спряженому до (3.1) квазідиференціальному (3.3), то

(3.8)

Останній результат дозволяє встановити тісний зв’язок між розв’язками вихідного і спряженого квазідиференціальних рівнянь.

Означення 3.4. Функцією Коші спряженого квазідиференціального рівняння (3.3) називатимемо функцію двох змінних R(x,a), що по змінній х задовольняє це рівняння і в точці х=а початкові умови:

(тут індекс “х” підкреслює, що квазіпохідна береться по цій змінній). Із структури матриці-функції D(x,a) негайно випливає, що

Наслідок 3. Функція і її послідовні по в сенсі вихідного рівняння (3.1) утворюють нормальну в точці х=а фундаментальну систему розв’язків спряженого квазідиференціального рівняння (3.3).

Отримані в цьому параграфі результати не вимагають конкретного вигляду квазідиференціальних рівнянь, а є наслідком деяких загальних положень концепції квазіпохідних. Стуктура еволюційного оператора, що відповідає деякому квазідиференціальному рівнянню, переконує в тому, що така концепція – в самій природі звичайних диференціальних рівнянь.

4. Неоднорідні вектори квазідиференціанальні рівняння з мірами і узагальненнями правими частинами

Розглянемо квазідиференціальне рівняння

(4.1)

де , а умовви на коефіцієнти наведено в 2 параграфі.

Поставимо наступну задачу: при якому найбільшому значенні v рівняння (4.1) є коректним? Відповідь на це питання, а також спосіб зведення цього рівняння до диференціальної системи першого порядку дає наступна теорема.

Теорема 4.1. Якщо , то рівняння (4.1) коректне, тобто зводиться до коректної системи.

Доведення. Покладемо і введемо квазіпохідні , що відповідають квазідиференціальному рівнянню (4.1), наступним чином:

(4.2)

Як і при доведенні теореми 2.1., зведемо (тепер вже неоднорідне) рівняння (4.1) до узагальненої диференціальної системи першого порядку

(4.3)

де матриця-міра та сама, що й в рівнянні (2.7), а Система (4.3) коректна при виконанні умов

(4.4)

Перша з умов (4.4) вже виконана. Виконання другої умови перевіряється безпосередньо з врахуванням структури матриці стрибків (х) і того факту, що

Зауважимо, що коли , то для виконання другої з умов (4.4) необхідно накласти додаткові обмеження або на функції або на коефіцієнти відповідного однорідного рівняння.

Аналогічно доводиться.

Теорема 4.2. Нехай Квазідиференціальне рівняння

(4.5)

коректне, якщо .

З наведеної схеми випливає, що початкову задачу для рівняння (4.1) слід ставити в термінах квазіпохідних (4.2):

. (4.6)

При цьому має місце

Теорема 4.3. Нехай - функція Коші однорідного рівняння Існує єдиний розв’язок задачі (4.1), (4.6), що зображається у вигляді

(4.7)

і такий, що а в точках розривів х, функцій і мають стрибки, що визначаються формулами

(4.8)

Доведення. Задача (4.1), (4.6) еквівалентна початковій задачі для неоднорідної диференціальної системи (4.3) з початковою умовою де . Згідно з [7] розв’язок цієї задачі єдиним чином зображається у вигляді

(4.9)

де - еволюційний оператор, що відповідає квазідиференціальному рівнянню Враховуючи структуру (?????) цього оператора, вигляд вектора а також наслідок 1 з теореми ?????, приходимо до формули (4.7). Оскільки, крім цього,

(4.10)

то після по координатного запису рівності (4.10) приходимо до умов стрибків (4.8) і умов абсолютної неперервності квазіпохідних . Теорема доведена.

Важливим з прикладної точки зору є неоднорідне рівняння

(4.11)

де - v-та узагальнена похідна від -функції дірка з носієм в точці .

Теорема 4.4. Розв’язок рівняння (4.11), що задовольняє нульові початкові умови, має вигляд

(4.12)

де - зміщена функція Хевісайда.

Доведення. В даному конкретному випадку вектор має вигляд

(4.13)

причому елемент знаходиться на -місці, починаючи знизу. Оскільки при

то перша координата у(х) вектора має вигляд

що співпадає з (4.13).