ПОКАЗНИКИ ВАРІАЦІЇ

Поняття варіації та її основні показники

Середні величини як узагальнювальні показники характеризують сукупності за варіаційною ознакою, вказують на їх типовий рівень у розрахунку па одиницю однорідної сукупності. Проте середня величина не пояснює, як групуються навколо неї окремі значення; чи лежать вони поблизу, чи, навпаки, істотно відхиляються під середньої. Інколи окремі значення варіантів досить близько розташовуються поблизу середньої. В такому разі середня досить надійно описує всю сукупність. В інших випадках окремі значення варіантів відхиляються далеко від середньої, а отже, вона не дуже надійна. Неважко уявити дві сукупності, в яких середні величини варіаційної ознаки однакові, проте наближення індивідуальних значень у кожній сукупності до середньої с різним.

У наведеному прикладі в другій бригаді середня типовіша, ніж у першій. Очевидно, підставою є низка чинників: кваліфікація робітників, їхній виробничий стаж, вік, інтенсивність праці тощо.

Ось чому для характеристики сукупності та обчислених середніх велике практичне й теоретичне значення мас вивчення відхилень досліджуваної ознаки окремих варіантів від середньої величини. Треба брати до уваги не лише крайні відхилення, а й сукупність відхилень усіх варіантів. Від розміру й розподілу цих відхилень залежить типовість і надійність середніх величин.

Проілюструємо на прикладі.

Середній виробіток кожної бригади

Х1=50/5=10 шт.; Х2=50/5=10шт.

Х1=Х2=10шт.

Середні величини двох варіаційних рядів

Номер робітника |

Обсяг виготовленої продукції |

Відхилення

Бригада 1

Х1 | Бригада 2

Х2 | Х-Х | Х-Х| | (Х-Х) 2

Бригада 1 | Бригада 2 | Бригада 1 | Бригада 2

1 | 2 | 8 | -8 8 | -2 2 | 64 | 4

2 | 3 | 9 | -7 7 | -1 1 | 49 | 1

3 | 12 | 10 | 2 2 | 0 0 | 4 | 0

4 | 15 | 11 | 5 5 | 1 1 | 25 | 1

5 | 18 |

12 | 8 8 | 2 2 | 64 | 4

Разом |

50 | 50 | 0 30 | 0 6 | 216 | 10

Отже, середні величини в обох бригадах однакові, проте відхилення виробітку окремих членів від середніх у кожній бригаді різні. Якщо значення ознаки помітніше відхиляється від середнього, як, наприклад, у першій бригаді, то це означає, що досліджувана сукупність менш однорідна, а середня величина менш надійна.

Коливність окремих значень варіантів характеризують показники варіації. У статисти ці розроблено цілу систему показників варіації, які використовують для всебічної характеристики рядів розподілу і їх можна виражати як в абсолютних, гак і відносних величинах.

Термін «варіація» походить від латинського «variatio» — зміна, коливність, різниця. У статистиці під варіацією розуміють такі кількісні зміни ознаки в межах однорідної сукупності, які зумовлені впливом різних факторів. Розрізняють варіації випадкові і систе-матичні. Аналіз систематичної варіації дає змогу оцінити залежність зміни ознаки від суттєвих для неї чинників.

У системі показників варіації найпростішим с показник розмаху варіації, який визначають як різницю між найбільшим і найменшим значеннями варіантів:

R=Xmax-Xmin

У розглянутому прикладі показник розмаху варіації для першої бригади R1 = 18 - 2 = 16, для другої —R2 = 12-8 = 4.

Недоліком цього показника с те, що він фіксує лише крайні відхилений і зовсім не враховує відхилень решти варіантів від їхньої середньої. Тому цей показник відносно нечасто використовують у практичній роботі. Узагальнювальну характеристику може дати лише середня величина, зокрема середня з відхилень варіантів від їхньої середньої, яка мас назву середнє лінійне відхилення. Цей показник обчислюють як частку від ділення суми всіх _відхилень на їх число. Пам'ятаючи властивість середньої, що X- X = 0, суму відхилень беруть за модулем, без урахування знака відхилень. Формула серед-нього лінійного відхилення:

(дані незгруповані);

(дані згруповані).

У розглянутому прикладі:

Отже, за показником виробітку друга бригада однорідніша за першу.

Однак середнє лінійне відхилення в статистичній практиці використовують мало, оскільки воно не завжди характеризує розсів варіантів.

Ступінь варіації об'єктивніше відображує показник середнього квадрата відхилення (дисперсія). Його обчислюють як середню ариф-метичну з суми квадратів відхилень окремих варіантів від їхньої середньої:

(дані иезгруповані);

(дані згруповані).

Корінь квадратний із середнього квадрата відхилень варіантів від їхньої середньої (тобто дисперсії) називають середнім квадратичним відхиленням,

Дисперсія і середнє квадратичне відхилення призначені вимірю-вати варіацію ознаки.

У наведеному прикладі дисперсія по кожній з бригад:

а середнє квадратичне відхилення відповідно:

Середнє квадратичне відхилення є мірилом надійності середньої. Чим менше середнє квадратичне відхилення, тим повніше середня арифметична відображує всю сукупність.

Як видно з добутих показників, у другій бригаді дисперсія і середнє квадратичне відхилення набагато менші, ніж у першій, що свідчить про високу надійність середньої в другій бригаді.

Усі розглянуті показники варіації — розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середній квадрат відхилення та середнє квад-ратичне відхилення завжди виражають у одиницях вихідних даних ряду та середніх величин. Всі вони є абсолютним виміром варіації. А це означає, що безпосередньо порівнювати абсолютні показники варіації у варіаційних рядах різних явищ не можна. Для того щоб забезпечити їх порівняння, потрібно обчислити показники, які ха-рактеризують варіацію, виражену в стандартних величинах, на-приклад, у процентах. Порівняння середнього квадратичного від-хилення з середньою величиною дає змогу знайти цю стандартну величину.

Отриманий відносний показник називають коефіцієнтом варіації і визначають за формулою:

Знайдемо коефіцієнт варіації:

бригада 1: V1 = = 68,0 %;

бригада 2: V 2 = = 14,5 %.

Коефіцієнт варіації є певною мірою критерієм типовості се-редньої. Якщо коефіцієнт дуже великий (у прикладі для першої бригади — 68 %), то це означає, що середня характеризує