Інколи водночас із коефіцієнтом варіації як відносним по-казником обчислюють коефіцієнт осциляції

який відображує відносну коливність крайніх значень ознаки навколо

середньої.

Математичні властивості дисперсій та спрощені способи її обчислення

Дисперсія (середній квадрат відхилень) має цілу низку мате-матичних властивостей, урахування яких дає змогу суттєво спростити її обчислення.

Властивість 1. Якщо від усіх варіантів відняти будь-яке стале число А, то середній квадрат відхилень від цього не зміниться:

А це означає, що дисперсію можна обчислиш не за заданими варіан-тами, а за їх відхиленнями від будь-якого сталого числа.

Властивість 2. Якщо всі значення варіантів поділити на будь-яку сталу і, то дисперсія зменшиться внаслідок цього в і2 разів; а середнє квадратичне відхилення — в і разів:

Властивість 3. Якщо обчислити середній квадрат відхилень від будь-якої величини А, що тією чи іншою мірою відмінна від середньої арифметичної X, то він завжди буде більшим за середній квадрат відхилень (дисперсію), обчислений від середньої арифметичної:

причому більший на певне значення — квадрат різниці між се-редньою і цією величиною, тобто на (X - А)2:

звідки

Дисперсія від середньої завжди має властивість мінімальності, тобто вона завжди менша від дисперсії, обчисленої від будь-яких інших величин. У цьому разі, коли А прирівняти нулю, то

Отже, дисперсія ознаки, або середній квадрат відхилень дорівнює різниці між середнім квадратом значень ознаки X2 і квадратом середнього значення ознаки (X)2:

Цей спосіб розрахунку дисперсії широко використовують у ста-тистичній практиці.

Середній виробіток товарної продукції Кількість Середина

на одного робітника Х, грн. Робітників інтервалу Х2 Х2f

f Х, грн..

800...1000 20 900 810000 16200000

1000...1200 80 1100 1210000 96800000

1200...1400 160 1300 1690000 270400000

1400...1600 90 1500 2250000 202500000

1600...1800 40 1700 2890000 115600000

1800...2000 10 1900 3610000 36100000

Разом 400 — — 737600000

На підставі наведених математичних властивостей дисперсії ба-зується спрощений спосіб обчислення середнього квадратичного відхилення, зокрема, спосіб моментів. Зважаючи на те, що розрахунок середнього квадрата відхилення — трудомістка операція, доцільно при великих значеннях вихідного інтервального ряду розподілу за-стосовувати цей спосіб, відомий під назвою відліку від умовного нуля, який використовують при визначенні середньої арифметичної.

За формулою

після відповідних перетворень дістанемо:

Де — момент першого порядку;

— момент другого порядку.

Отже, дисперсія, обчислена за способом моментів, дорівнює добутку квадрата інтервалу на різницю моменту другого порядку і квадрата моменту першого порядку:

Види дисперсій та правило їх додавання

Варіація ознаки формується під дією різних чинників, серед яких можна виділити випадкові та систематичні. Отже, варіація може бути випадковою, зумовлена дією випадкових причин, та систематичною — внаслідок дії постійних чинників. Визначити кожну з них та їхню роль у загальній варіації можна за допомогою дисперсійного аналізу.

Загальна дисперсія, яку вже було розглянуто, характеризує загальну варіацію ознаки під виливом усіх умов і причин, що зумовили цю варіацію,

Для визначення виливу постійного фактора на розмір варіації потрібно розчленувати всю сукупність на групи та знайти, як зміниться результат під дією чинника, покладеного в основу групу-вання. Для цього попередньо необхідно обчислити для кожної групи середню величину ознаки, групові (часткові) дисперсії, середню з групових та міжгрупову дисперсії.

Групова (часткова) дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки всередині групи від середньої арифметичної відповідної групи. її можна обчислити як середню просту і як зважену за формулами

або спрощеним способом:

Ця дисперсія відображає варіацію ознаки лише за рахунок умов і причин, що діють всередині групи.

Середня з групових (часткових) дисперсій — це середня ариф-метична, зважена з групових дисперсій:

Міжгрупова дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень групових середніх X від загальної середньої X:

де — міжгрупова дисперсія; X — середня кожної окремої групи; X — загальна середня всієї сукупності; — частоти (ваги).

Міжгрупова дисперсія характеризує варіацію результативної ознаки за рахунок групувальної ознаки.

Між наведеними типами дисперсій існує певне співвідношення: загальна дисперсія дорівнює сумі середньої з групових дисперсій та міжгрунової дисперсії:

Це співвідношення називають правилом додавання дисперсій, за яким, знаючи два види дисперсій, можна визначити третій:

Міжгрупова дисперсія характеризує варіацію групових середніх, спричинену різним кваліфікаційним розрядом у групах. Отже, чим більший внесок міжгрупової дисперсії в загальну дисперсію, тим сильніший вплив групувальної ознаки. У статистичному аналізі широко використовують показник, що виражає частку міжгрупової дисперсії в загальній дисперсії — емпіричний коефіцієнт детермінації,

Корінь квадратний з емпіричного коефіцієнта детермінації нази-вають емпіричним кореляційним відношенням,

Застосовують його для оцінки зв'язку між групувальною та резуль-тативною ознаками.

Дисперсія альтернативної (якісної) ознаки

Поряд із показниками варіації кількісної ознаки обчислюють показники альтернативної ознаки. Серед варіаційних ознак часто трапляються такі, варіація яких проявляється в тому, що в одних одиниць сукупності вони с, а в інших —немає. Такі ознаки називають альтернативними, особливість їх полягає в тому, що вони не мають кількісного вираження. Наприклад, за місцем проживання все насе-лення поділяється на міське і сільське; за рівнем освіти населення піком понад сім років поділяється на тих, хто має вищу, середню спеціальну, загальну середню, початкову освіту тощо.

Кількісно варіація альтернативної ознаки дорівнює нулю в оди-ниць, що не мають цієї ознаки, а в одиниць, що мають цю ознаку — одиниці. Частку одиниць, що має досліджувану ознаку, позначають Р, а решту, що не має її — q :

p+q=1,звідки q=1-p

Розрахуємо середнє значення альтернативної ознаки та її дисперсію:

Отже, середнє значення альтернативної ознаки дорівнює частці? одиниць,