Паскаль:подання чисел та інших значень

1. Позиційні системи числення

1.1. Запис натуральних чисел

Система числення – це система запису, або позначення, чисел. Найдосконалішими системами числення виявилися позиційні. У цих системах число, позначене цифрою, залежить від її місця (позиції) в записі числа. Наприклад, звичні нам записи 13 і 31 у десятковій системі складаються з однакових цифр (значків "1" і "3"), але позначають різні числа 1Ч 10+3 і 3Ч 10+1.

Позиційна система числення з основою P (P-кова) має P цифр C0, C1, … , CP-1, що звичайно позначають натуральні числа від 0 до P-1. Ці записи та позначені ними числа – значення цих записів – називаються однорозрядними P-ковими.

Цифри десяткової системи 0, 1, 2, … , 9 називаються арабськими, хоча й були запозичені арабами в індусів.

У програмуванні широко застосовується шістнадцяткова система, в якій перші 10 цифр арабські, а наступні шість – A, B, C, D, E, F. Вони позначають числа, десятковий запис яких 10, 11, 12, 13, 14, 15 відповідно.

Число P у P-ковій системі позначається дворозрядним записом C1C0, число P+1 – записом C1C1 тощо до PЧ P-1. Наприклад, 10, 11, ... , 99 у десятковій системі, 10, 11 у двійковій, 10, 11, … , 1F, 20, … , FF у 16-ковій. Число PЧ P позначається вже трьома цифрами C1C0C0, далі йде C1C0C1 тощо. Наприклад, 100, 101, … , 999 у десятковій системі, 100, 101, 110, 111 у двійковій, 100, 101, … , FFF у 16-ковій. І взагалі, запис вигляду

(akak-1ј a1a0)P

позначає в P-ковій системі число, що є значенням полінома

akЧ Pk+ak-1Ч Pk-1+ј +a1Ч P+a0.

Наприклад, двійковий запис (10011)2 позначає число, яке в десятковому записі має вигляд 1Ч 24+0Ч 23+0Ч 22+1Ч 21+1Ч 20=19. 16-ковий запис (1BC)16 позначає десяткове 1Ч 162+11Ч 16+12=444.

Найправіша цифра в запису числа позначає кількість одиниць і називається молодшою, найлівіша – кількість чисел Pk і називається старшою.

Ми звикли до десяткового подання чисел, і саме воно, головним чином, використовується в Паскаль-программах, але в комп'ютері числа, як правило, подаються в двійковій системі. Таким чином, виникає необхідність створювати двійкове подання числа за його десятковим записом і навпаки. Зауважимо до речі, що такі перетворення записів чисел з однієї системи в іншу здійснюються при виконанні процедур читання і запису readln і writeln.

За P-ковим записом (akak-1 ј a1a0)P натурального числа N можна побудувати десяткове подання, обчисливши значення полінома за допомогою операцій множення та додавання в десятковій системі. Саме цим ми займалися двома абзацами вище.

Розглянемо, як одержати за натуральним числом N цифри його P-кового подання. Нехай N=(akak-1 ј a1a0)P, і кількість цифр k+1 невідомі. Запишемо подання в такому вигляді:

N = akЧ Pk+ak-1Ч Pk-1+ј +a1Ч P+a0 = (…(akЧ P+ak-1)Ч P+ј +a1)Ч P+a0.

Звідси очевидно, що значенням a0 є N mod P, a1 – (N div P) mod P тощо. Таким чином, якщо поділити N на P у стовпчик, то остача від ділення буде значенням молодшої цифри. Потім можна так само поділити на P частку від першого ділення – остача буде виражати кількість "P-кових десятків" тощо поки остання частка не виявиться менше P. Вона й буде значенням старшої цифри. При P>10 ще треба перетворити числа більше 9 у цифри. Наприклад, одержимо цифри 16-кового подання десяткового числа 1022:

_1022 | 16 _63 | 16

96 63 48 3

_62 15

48

14

Виділені 14, 15 і 3 – це кількості 16-кових "одиниць", "десятків" і "сотень" відповідно. Позначимо їх 16-ковими цифрами E, F і 3 відповідно та одержимо запис 3FE.

Якщо натуральне N подано в базовому типі цілих, то одержати його P-кові цифри можна за наступним алгоритмом (остання цифра утворюється як остача від ділення на P частки, меншої від P):

while N > 0 do

begin

d:= N mod P ;

за значенням d побудувати P-кову цифру;

N := N div P

end

Якщо позначити цифрами A, B, … , Z числа від 10 до 35, то з використанням відповіді до задачі 10.5 за цим алгоритмом можна утворити подання чисел аж до 36-кової системи.

Для використання ще більших основ систем числення треба додатково розширити алфавіт цифр. 

1.2. Дробові числа

P-кове подання чисел, менших 1, має вигляд 0.a-1 a-2 ј , де a-i – P-кові цифри. Цей запис позначає дійсне число – значення виразу

a-1Ч P-1+a-2Ч P-2+ ј

Наприклад, (0.1101)2 позначає десяткове

1Ч 2-1+1Ч 2-2+0Ч 2-3+1Ч 2-4=0.5+0.25+0.0625=0.8125;

(0.21)3 – 2Ч 3-1+1Ч 3-2=0.777…=0.(7); (0.BC)16 – 11Ч 16-1+12Ч 16-2=0.734375.

За P-ковим поданням, у якому задано r старших цифр, десятковий запис числа утворюється обчисленням значення многочлена

a-1Ч P-1+a-2Ч P-2+ … +a-rЧ P-r.

Нагадаємо, що якщо основа P має прості дільники, відмінні від 2 і 5, то число зі скінченним P-ковим записом зображується нескінченним, але періодичним десятковим дробом. Якщо ж простими дільниками P є тільки 2 і 5, то й десятковий дріб скінченний.

Розглянемо, як за дійсним значенням V одержати цифри його P-кового подання. Нехай V=(0.a-1a-2…)P. Запишемо подання в такому вигляді:

V=P-1Ч (a-1+P-1Ч (a-2+ј )).

Тоді VЧ P=a-1+P-1Ч (a-2+ј ), звідки очевидно, що a-1=л VЧ Pы , і P-1Ч (a-2+ј ) = {VЧ P}, де л VЧ Pы та {VЧ P} позначають цілу та дробову частини VЧ P. Помноживши {VЧ P} на P і узявши цілу частину, одержимо a-2 тощо. Наприклад, при V=0.75, P=3 одержимо

a-1=л 0.75Ч 3ы =2, {0.75Ч 3}=0.25, a-2=л 0.25Ч 3ы =0, {0.25Ч 3}=0.75