Реферат на тему:

Визначений інтеграл: властивості, методи інтегрування, застосування

Нехай на відрізку [а, b] визначена неперервна функція у = f(x). Розіб'ємо відрізок [а, b] на n частин а<х1<х2 <... < хп-1, < b. Довжину відрізків; позначимо Дхi = хi – хi-1. Обчислимо - довільна точка ) та утворимо інтегральну суму: . Границю інтегральної суми, якщо вона існує, називають визначеним інтегралом:

де а, b — нижня та верхня межі інтегрування; [а, b] — відрізок інтегрування;

х — змінна інтегрування.

Для обчислення визначеного інтеграла використовують формулу Ньютона-Лейбніца:

де F(x) — це первісна неперервної функції f(x).

Якщо функція , то інтеграл дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженою кривою у =f(х), віссю ОХ (у = 0) та прямими х=а та х=b.

Зауваження 1. Визначений інтеграл залежить від функції f(х) та меж інтегрування, але не залежить від позначення змінної інтегрування:

Зауваження 2.

Властивості визначеного інтеграла:

1.

2.

3. Якщо

4. для будь-якого с.

5. Теорема про середнє.

Якщо f(х) — неперервна функція на відрізку [а,b], то існує така точка , що

де f(x) — середнє значення функції на відрізку [а, b].

Методи інтегрування

1. Заміна змінної:

2. Інтегрування частинами:

Приклад 1. Обчислити інтеграл:

Розв’язання:

Застосуємо універсальну тригонометричну підстановку:

Приклад 2. Обчислити інтеграл:

Розв’язання:

Приймаємо тоді

Записуємо ці вирази у формулу інтегрування частинами:

Деякі геометричні застосування визначеного інтеграла

Література: 1, гл. 8, § 10.

Запитання для самоконтролю

Що називається інтегральною сумою?

Що називається визначеним інтегралом?

Сформулювати властивості визначеного інтеграла і дати їх геометричну інтерпретацію.

Довести формулу Ньютона-Лейбніца.

Як застосовувати інтегрування методом заміни змінної у визначеному інтегралі?

Як обчислити площу криволінійної трапеції?

Як обчислити площу, якщо функція у=f(x) не є знакосталою на проміжку [а, b]?

Як обчислити площу криволінійного сектора у полярних координатах?

Як обчислити довжину кривої у прямокутних та полярних координатах?

Як обчислити об'єм тіла по площах паралельних перерізів?

Завдання для самостійної роботи

Обчислити:

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

Обчислити площу, обмежену лініями:

11.

12.