Реферат

на тему:

Схема Бернуллі

Розглянемо дискретний ймовiрнiсний простiр(?,F,P ), де ймовiрнiсть P визначена для кожної

елементарної подiї щi ? ? за допомогою рiвностi P({щi}) = pi, i = 1, 2, . . . , _i pi = 1. Будемо

вважати, що ймовiрнiсному простору (?, F,

P) можна спiвставити дослiд S, а щ1, щ2, . . . - можливi елементарнi результати цього дослiду.

Тодi дослiду S, що був повторений двiчi, можна спiвставити ймовiрнiсний простiр (?2, F2,-

P2) = (?, F, P) . (?, F, P). Зараз елементарними подiями будуть упорядкованi пари подiй

(щiщj) ? ? .? = ?2 i F2 = F . F буде у - алгеброю пiдмножин ?2. Ймовiрнiсть P2 на F2

можна визначити багатьма способами, але якщо результати першого дослiду нiяким чином

не впливають на результати другого, то вiдповiдно до (2.32) необхiдно покласти

P2({щiщj}) = pipj, i,j= 1, 2, . . . (3.1)

Очевидно, що n разiв незалежно повтореному дослiду S вiдповiдає ймовiрнiсний простiр

(?n, Fn, Pn) = [.(?, F, P)]n, де ?n = [.?]n, Fn = [.F]n, а ймовiрнiсть Pn задана рiвностями

Pn({щiщj . . .щk}) = pipj · · · pk, i, j, . . . , k,= 1, 2, . . . (3.2)

Нехай (?, F, P) - дискретний ймовiрнiсний простiр. Послiдовнiстю n незалежних випробу-

вань називається ймовiрнiсний простiр (?n, Fn, Pn), в якому елементарними подiями х по-

слiдовностi (щi1 . . .щin) i ймовiрнiсть визначена для кожної елементарної подiї за допомогою

рiвностi (3.2). Послiдовнiсть незалежних випробувань називається схемою Бернуллi, якщо

? = (щ1, щ2), тобто дослiд S має лише два елементарних результати. Успiх: P({щ1}) = p,

невдача: P({щ2}) = q = 1? p.

У схемi Бернуллi простiр ?n складається iз 2n елементiв, причому

Pn({щi1 . . . щin}) = pkqn?k , (3.3)

де k - кiлькiсть успiхiв у послiдовностi щi1 . . .щin елементарних результатiв.

Знайдемо ймовiрнiсть того, що в схемi Бернуллi в серiї n випробувань успiх матиме мi-

сце рiвно k ? n разiв. Оскiльки не має значення, коли саме в цих випробуваннях будуть

спостерiгатися цi k успiхiв, то подiя, яка складається з того, що успiх вiдбувся k разiв, буде

26

3.1. Схема Бернуллi 27

об’єднанням рiзних подiй типу (щi1, . . . , щin), де щ1 зустрiчається k разiв. Таких подiй буде

Ck

n i, оскiльки всi вони несумiснi, то

Pn(Ak) = pn(k) = Ck

npkqn?k . (3.4)

Сукупнiсть (3.4) називається бiномiальним розподiлом. Назва є наслiдком того, що (3.4) є

загальним членом розкладу бiнома

1 = (p + q)n =

n _k=0

= Ck

npkqn?k . (3.5)

Ця рiвнiсть показує, що елементарнi подiї, якi мiстять k = 0, 1, . . . , n успiхiв, утворюють

повну групу попарно несумiсних подiй.

Нехай ? = {щ1, . . . , щr} i p({щi}) = pi, i = 1, . . . , r. Нехай вiдбудеться n випробувань. У

результатi отримаємо елементарну подiю {щi1 · · · щin} iз ймовiрнiстю ps1

1 · · · psr

r , де s1, . . . , sr

кiлькiсть елементарних подiй щ1, . . . , щr, вiдповiдно, в послiдовностi {щi1 · · · щin} i s1+. . .+sr =

n. Тодi при n випробувань ймовiрнiсть того, що щ1 спостерiгається s1 разiв, щ2 спостерiгається

s2 разiв i т.д., дорiвнює

Pn(s1, . . . , sr) =

n!

s1! . . . sr!

ps1

1 · · · psr

r , s1 + . . . + sr = n . (3.6)

Це полiномiальний (мультiномiальний) розподiл. Вираз (3.6) є загальним членом розкладу

1 = (p1 + . . . + pr)n = _s1...sr

n!

s1! . . . sr!

ps1

1 · · ·psr

r . (3.7)

Множник n!

s1! . . . sr!

дорiвнює кiлькостi можливих елементарних подiй у n випробуваннях, у

яких щi спостерiгається si разiв. Дiйсно, елементарну подiю щ1 (s1 разiв) можна розкласти по

n мiсцях Cs1

n рiзними способами; елементарну подiю щ2 (s2 разiв) можна розкласти по n?s1

мiсцях, що залишились, Cs2

n?s1 рiзними способами i т.д. У результатi отримаємо

n!

s1!(n?s1)! ·

(n?s1)!

s2!(n?s1?s2)! · · ·

(n?s1?. . .?sr?1)!

sr!(n?s1?. . .?sr)!

=

n!

s1! . . . sr!

.

Приклад 17. (Гра в бридж.) Яка ймовiрнiсть того, що кожен гравець отримає по

одному тузу?

_ В цiй грi 52 карти розподiляються на 4 рiвнi групи i кiлькiсть рiзних розкладiв дорiв-

нює 52!/(13!)4 ? 5, 36 · 1028. Чотири тузи можна упорядкувати 4! = 24 рiзними способами

(при умовi що кожен гравець отримає по одному тузу). 48 карт, що залишились, можна роз-

подiлити 48!/(12!)4 рiзними способами. Тодi ймовiрнiсть того, що кожний гравець отримає

по тузу, дорiвнює

24 · 48!

(12!)4

52!

(13!)4

? 0, 105 .